Derivada de x=e^(-t)*sin(t)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d t} \frac{f{\left(t \right)}}{g{\left(t \right)}} = \frac{- f{\left(t \right)} \frac{d}{d t} g{\left(t \right)} + g{\left(t \right)} \frac{d}{d t} f{\left(t \right)}}{g^{2}{\left(t \right)}}$

   $f{\left(t \right)} = \sin{\left(t \right)}$ y $g{\left(t \right)} = e^{t}$.

   Para calcular $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$:

   1. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d t} \sin{\left(t \right)} = \cos{\left(t \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d t} g{\left(t \right)}$:

   1. Derivado $e^{t}$ es.

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\left(- e^{t} \sin{\left(t \right)} + e^{t} \cos{\left(t \right)}\right) e^{- 2 t}$

2. Simplificamos:

   $\sqrt{2} e^{- t} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}$

Respuesta:

$\sqrt{2} e^{- t} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}$