Derivada de y(x)=exp(-x)(sin3x+cos3x)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = e^{x}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $\sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}$ miembro por miembro:

      1. Sustituimos $u = 3 x$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $3$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- 3 \sin{\left(3 x \right)}$

      4. Sustituimos $u = 3 x$.

      5. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      6. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $3$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $3 \cos{\left(3 x \right)}$

      Como resultado de: $- 3 \sin{\left(3 x \right)} + 3 \cos{\left(3 x \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Derivado $e^{x}$ es.

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\left(\left(- 3 \sin{\left(3 x \right)} + 3 \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{x} - \left(\sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{x}\right) e^{- 2 x}$

2. Simplificamos:

   $2 \left(- 2 \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{- x}$

Respuesta:

$2 \left(- 2 \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{- x}$