Derivada de x*((ln(x)/x)-1)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x \left(- x + \log{\left(x \right)}\right)$ y $g{\left(x \right)} = x$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = - x + \log{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $- x + \log{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $-1$

         2. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

         Como resultado de: $-1 + \frac{1}{x}$

      Como resultado de: $x \left(-1 + \frac{1}{x}\right) - x + \log{\left(x \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- x \left(- x + \log{\left(x \right)}\right) + x \left(x \left(-1 + \frac{1}{x}\right) - x + \log{\left(x \right)}\right)}{x^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{1 - x}{x}$

Respuesta:

$\frac{1 - x}{x}$