Derivada de y=tgx*lnctgx

Solución

Ha introducido [src]

tan(x)*log(cot(x))

$$\log{\left(\cot{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}$$

tan(x)*log(cot(x))

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
  
  $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
  
  Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
    
    $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
  Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
  
  $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
$g{\left(x \right)} = \log{\left(\cot{\left(x \right)} \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = \cot{\left(x \right)}$ .
2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$ .
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cot{\left(x \right)}$ :
  1. Hay varias formas de calcular esta derivada.
    Method #1
    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
      
      $\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$
    2. Sustituimos $u = \tan{\left(x \right)}$ .
    3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$
    4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
      
      $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
    Method #2
    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
      
      $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$
    2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      
      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
      
      $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}$
Como resultado de: $\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \log{\left(\cot{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}$
Simplificamos:

$\frac{\log{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} \right)} - 1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} \right)} - 1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

                            /        2   \       
/       2   \               \-1 - cot (x)/*tan(x)
\1 + tan (x)/*log(cot(x)) + ---------------------
                                    cot(x)

$$\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(\cot{\left(x \right)} \right)} + \frac{\left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \tan{\left(x \right)}}{\cot{\left(x \right)}}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

/                             2\                                                                            
|                /       2   \ |            /       2   \ /       2   \                                     
|         2      \1 + cot (x)/ |          2*\1 + cot (x)/*\1 + tan (x)/     /       2   \                   
|2 + 2*cot (x) - --------------|*tan(x) - ----------------------------- + 2*\1 + tan (x)/*log(cot(x))*tan(x)
|                      2       |                      cot(x)                                                
\                   cot (x)    /

$$- \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\cot{\left(x \right)}} + 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(\cot{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)} + \left(- \frac{\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\cot^{2}{\left(x \right)}} + 2 \cot^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \tan{\left(x \right)}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

                /                             2\                   /                        2                  \                                                                                            
                |                /       2   \ |                   |           /       2   \      /       2   \|                                                          /       2   \ /       2   \       
  /       2   \ |         2      \1 + cot (x)/ |     /       2   \ |           \1 + cot (x)/    2*\1 + cot (x)/|            /       2   \ /         2   \               6*\1 + cot (x)/*\1 + tan (x)/*tan(x)
3*\1 + tan (x)/*|2 + 2*cot (x) - --------------| - 2*\1 + cot (x)/*|2*cot(x) + -------------- - ---------------|*tan(x) + 2*\1 + tan (x)/*\1 + 3*tan (x)/*log(cot(x)) - ------------------------------------
                |                      2       |                   |                 3               cot(x)    |                                                                       cot(x)               
                \                   cot (x)    /                   \              cot (x)                      /

$$2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(\cot{\left(x \right)} \right)} - \frac{6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)}}{\cot{\left(x \right)}} + 3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(- \frac{\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\cot^{2}{\left(x \right)}} + 2 \cot^{2}{\left(x \right)} + 2\right) - 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\frac{\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\cot^{3}{\left(x \right)}} - \frac{2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\cot{\left(x \right)}} + 2 \cot{\left(x \right)}\right) \tan{\left(x \right)}$$

Simplificar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Derivada de y=tgx*lnctgx

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Method #1

Method #2