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Derivada de la función/ t^2+1/ 2*t^2/ x(t)=rcost/√(a^2*t^2+1)

Derivada de x(t)=rcost/√(a^2*t^2+1)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   r*cos(t)   
--------------
   ___________
  /  2  2     
\/  a *t  + 1
rcos⁡(t)a2t2+1\frac{r \cos{\left(t \right)}}{\sqrt{a^{2} t^{2} + 1}} 
(r*cos(t))/sqrt(a^2*t^2 + 1)
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddtf(t)g(t)=−f(t)ddtg(t)+g(t)ddtf(t)g2(t)\frac{d}{d t} \frac{f{\left(t \right)}}{g{\left(t \right)}} = \frac{- f{\left(t \right)} \frac{d}{d t} g{\left(t \right)} + g{\left(t \right)} \frac{d}{d t} f{\left(t \right)}}{g^{2}{\left(t \right)}}

    f(t)=rcos⁡(t)f{\left(t \right)} = r \cos{\left(t \right)} y g(t)=a2t2+1g{\left(t \right)} = \sqrt{a^{2} t^{2} + 1}.

    Para calcular ddtf(t)\frac{d}{d t} f{\left(t \right)}:

    1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

        ddtcos⁡(t)=−sin⁡(t)\frac{d}{d t} \cos{\left(t \right)} = - \sin{\left(t \right)}

      Entonces, como resultado: −rsin⁡(t)- r \sin{\left(t \right)}

    Para calcular ddtg(t)\frac{d}{d t} g{\left(t \right)}:

    1. Sustituimos u=a2t2+1u = a^{2} t^{2} + 1.

    2. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ∂∂t(a2t2+1)\frac{\partial}{\partial t} \left(a^{2} t^{2} + 1\right):

      1. diferenciamos a2t2+1a^{2} t^{2} + 1 miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

        2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: t2t^{2} tenemos 2t2 t

          Entonces, como resultado: 2a2t2 a^{2} t

        Como resultado de: 2a2t2 a^{2} t

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      a2ta2t2+1\frac{a^{2} t}{\sqrt{a^{2} t^{2} + 1}}

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    −a2rtcos⁡(t)a2t2+1−ra2t2+1sin⁡(t)a2t2+1\frac{- \frac{a^{2} r t \cos{\left(t \right)}}{\sqrt{a^{2} t^{2} + 1}} - r \sqrt{a^{2} t^{2} + 1} \sin{\left(t \right)}}{a^{2} t^{2} + 1}

  2. Simplificamos:

    −r(a2tcos⁡(t)+(a2t2+1)sin⁡(t))(a2t2+1)32- \frac{r \left(a^{2} t \cos{\left(t \right)} + \left(a^{2} t^{2} + 1\right) \sin{\left(t \right)}\right)}{\left(a^{2} t^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}

Respuesta:

−r(a2tcos⁡(t)+(a2t2+1)sin⁡(t))(a2t2+1)32- \frac{r \left(a^{2} t \cos{\left(t \right)} + \left(a^{2} t^{2} + 1\right) \sin{\left(t \right)}\right)}{\left(a^{2} t^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}

Primera derivada [src] 
                        2        
     r*sin(t)      r*t*a *cos(t) 
- -------------- - --------------
     ___________              3/2
    /  2  2        / 2  2    \   
  \/  a *t  + 1    \a *t  + 1/
−a2rtcos⁡(t)(a2t2+1)32−rsin⁡(t)a2t2+1- \frac{a^{2} r t \cos{\left(t \right)}}{\left(a^{2} t^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{r \sin{\left(t \right)}}{\sqrt{a^{2} t^{2} + 1}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
  /             /         2  2 \                       \
  |           2 |      3*a *t  |                       |
  |          a *|-1 + ---------|*cos(t)                |
  |             |          2  2|               2       |
  |             \     1 + a *t /          2*t*a *sin(t)|
r*|-cos(t) + -------------------------- + -------------|
  |                       2  2                   2  2  |
  \                  1 + a *t               1 + a *t   /
--------------------------------------------------------
                        ___________                     
                       /      2  2                      
                     \/  1 + a *t
r(2a2tsin⁡(t)a2t2+1+a2(3a2t2a2t2+1−1)cos⁡(t)a2t2+1−cos⁡(t))a2t2+1\frac{r \left(\frac{2 a^{2} t \sin{\left(t \right)}}{a^{2} t^{2} + 1} + \frac{a^{2} \left(\frac{3 a^{2} t^{2}}{a^{2} t^{2} + 1} - 1\right) \cos{\left(t \right)}}{a^{2} t^{2} + 1} - \cos{\left(t \right)}\right)}{\sqrt{a^{2} t^{2} + 1}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
  /       /         2  2 \                                 /         2  2 \                \
  |     2 |      3*a *t  |                               4 |      5*a *t  |                |
  |  3*a *|-1 + ---------|*sin(t)                   3*t*a *|-3 + ---------|*cos(t)         |
  |       |          2  2|               2                 |          2  2|                |
  |       \     1 + a *t /          3*t*a *cos(t)          \     1 + a *t /                |
r*|- ---------------------------- + ------------- - ------------------------------ + sin(t)|
  |                2  2                    2  2                         2                  |
  |           1 + a *t                1 + a *t               /     2  2\                   |
  \                                                          \1 + a *t /                   /
--------------------------------------------------------------------------------------------
                                          ___________                                       
                                         /      2  2                                        
                                       \/  1 + a *t
r(−3a4t(5a2t2a2t2+1−3)cos⁡(t)(a2t2+1)2+3a2tcos⁡(t)a2t2+1−3a2(3a2t2a2t2+1−1)sin⁡(t)a2t2+1+sin⁡(t))a2t2+1\frac{r \left(- \frac{3 a^{4} t \left(\frac{5 a^{2} t^{2}}{a^{2} t^{2} + 1} - 3\right) \cos{\left(t \right)}}{\left(a^{2} t^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{3 a^{2} t \cos{\left(t \right)}}{a^{2} t^{2} + 1} - \frac{3 a^{2} \left(\frac{3 a^{2} t^{2}}{a^{2} t^{2} + 1} - 1\right) \sin{\left(t \right)}}{a^{2} t^{2} + 1} + \sin{\left(t \right)}\right)}{\sqrt{a^{2} t^{2} + 1}}
Simplificar
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