Derivada de x*sqrt(1/3*x^2+7)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x \sqrt{x^{2} + 21}$ y $g{\left(x \right)} = \sqrt{3}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \sqrt{x^{2} + 21}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = x^{2} + 21$.

      2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 21\right)$:

         1. diferenciamos $x^{2} + 21$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $21$ es igual a cero.

            2. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

            Como resultado de: $2 x$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 21}}$

      Como resultado de: $\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 21}} + \sqrt{x^{2} + 21}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada de una constante $\sqrt{3}$ es igual a cero.

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{\sqrt{3} \left(\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 21}} + \sqrt{x^{2} + 21}\right)}{3}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\sqrt{3} \left(2 x^{2} + 21\right)}{3 \sqrt{x^{2} + 21}}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{3} \left(2 x^{2} + 21\right)}{3 \sqrt{x^{2} + 21}}$