Derivada de y=(tg5x)*sin^32x

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \tan{\left(5 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\tan{\left(5 x \right)} = \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\cos{\left(5 x \right)}}$

   2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x \right)}$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 5 x$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $5$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $5 \cos{\left(5 x \right)}$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 5 x$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $5$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- 5 \sin{\left(5 x \right)}$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{5 \sin^{2}{\left(5 x \right)} + 5 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}{\cos^{2}{\left(5 x \right)}}$

   $g{\left(x \right)} = \sin^{3}{\left(2 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \sin{\left(2 x \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(2 x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 2 x$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $2$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $2 \cos{\left(2 x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $6 \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$

   Como resultado de: $\frac{\left(5 \sin^{2}{\left(5 x \right)} + 5 \cos^{2}{\left(5 x \right)}\right) \sin^{3}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(5 x \right)}} + 6 \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} \tan{\left(5 x \right)}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(5 \sin{\left(2 x \right)} + \frac{3 \sin{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{3 \sin{\left(12 x \right)}}{2}\right) \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(5 x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{\left(5 \sin{\left(2 x \right)} + \frac{3 \sin{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{3 \sin{\left(12 x \right)}}{2}\right) \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(5 x \right)}}$