Derivada de y=e^(-2x)sin((x)/(4))

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = e^{2 x}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \frac{x}{4}$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{4}$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $\frac{1}{4}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{\cos{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 2 x$.

   2. Derivado $e^{u}$ es.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $2$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 e^{2 x}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\left(- 2 e^{2 x} \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} + \frac{e^{2 x} \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4}\right) e^{- 4 x}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(- 8 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\right) e^{- 2 x}}{4}$

Respuesta:

$\frac{\left(- 8 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\right) e^{- 2 x}}{4}$