Derivada de y=x(coslnx-sinlnx)

Solución

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
$g{\left(x \right)} = - \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. diferenciamos $- \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$ miembro por miembro:
  1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
    
    $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
    
    $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
    $g{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$ .
    Como resultado de: $- \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}$
  2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
      
      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
      
      $f{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$ .
      $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      1. La derivada del seno es igual al coseno:
        
        $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      Como resultado de: $\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$
    Entonces, como resultado: $- \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$
  Como resultado de: $- \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} - \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}$
Como resultado de: $x \left(- \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} - \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right) - \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$
Simplificamos:

$\sqrt{2} \left(- x \log{\left(x \right)} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + \log{\left(x \right)} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right)$

Respuesta:

$\sqrt{2} \left(- x \log{\left(x \right)} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + \log{\left(x \right)} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right)$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

  /cos(x)   sin(x)                                \                                
x*|------ - ------ - cos(x)*log(x) - log(x)*sin(x)| + cos(x)*log(x) - sin(x)*log(x)
  \  x        x                                   /

$$x \left(- \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} - \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right) - \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

    /cos(x)                   sin(x)                   2*cos(x)   2*sin(x)\   2*sin(x)                                       2*cos(x)
- x*|------ + cos(x)*log(x) - ------ - log(x)*sin(x) + -------- + --------| - -------- - 2*cos(x)*log(x) - 2*log(x)*sin(x) + --------
    |   2                        2                        x          x    |      x                                              x    
    \  x                        x                                         /

$$- x \left(- \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) - 2 \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} - 2 \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x}$$

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Tercera derivada [src]

  /                                3*cos(x)   2*sin(x)   2*cos(x)   3*sin(x)   3*cos(x)   3*sin(x)\   6*cos(x)   6*sin(x)   3*cos(x)                     3*sin(x)                  
x*|cos(x)*log(x) + log(x)*sin(x) - -------- - -------- + -------- + -------- + -------- + --------| - -------- - -------- - -------- - 3*cos(x)*log(x) + -------- + 3*log(x)*sin(x)
  |                                   x           3          3         x           2          2   |      x          x           2                            2                     
  \                                              x          x                     x          x    /                            x                            x

$$x \left(\log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{x} + \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x^{3}} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) + 3 \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} - 3 \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \frac{6 \sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{6 \cos{\left(x \right)}}{x} + \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}$$

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Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Derivada de y=x(coslnx-sinlnx)

Gráfico:

Definida a trozos:

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