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y=x*ctg^2x
Derivada de la función/ tg^2x/ ctg^2/ y=x*ctg^2x

Derivada de y=x*ctg^2x

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     2   
x*cot (x)
xcot⁡2(x)x \cot^{2}{\left(x \right)} 
x*cot(x)^2
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

    f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

    g(x)=cot⁡2(x)g{\left(x \right)} = \cot^{2}{\left(x \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

    2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcot⁡(x)\frac{d}{d x} \cot{\left(x \right)}:

      1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

        Method #1

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          cot⁡(x)=1tan⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}

        2. Sustituimos u=tan⁡(x)u = \tan{\left(x \right)}.

        3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos −1u2- \frac{1}{u^{2}}

        4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}:

          1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

          2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

            f(x)=sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y g(x)=cos⁡(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

            Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

            1. La derivada del seno es igual al coseno:

              ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

            Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

            1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

              ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          −sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

        Method #2

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          cot⁡(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

        2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

          ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

          f(x)=cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} y g(x)=sin⁡(x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

          Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

          Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. La derivada del seno es igual al coseno:

            ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

          Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

          −sin⁡2(x)−cos⁡2(x)sin⁡2(x)\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      −2(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))cot⁡(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)- \frac{2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cot{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

    Como resultado de: −2x(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))cot⁡(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)+cot⁡2(x)- \frac{2 x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cot{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + \cot^{2}{\left(x \right)}

  2. Simplificamos:

    −2xcos⁡(x)sin⁡3(x)−1+1sin⁡2(x)- \frac{2 x \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} - 1 + \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

Respuesta:

−2xcos⁡(x)sin⁡3(x)−1+1sin⁡2(x)- \frac{2 x \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} - 1 + \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-500000010000000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
   2        /          2   \       
cot (x) + x*\-2 - 2*cot (x)/*cot(x)
x(−2cot⁡2(x)−2)cot⁡(x)+cot⁡2(x)x \left(- 2 \cot^{2}{\left(x \right)} - 2\right) \cot{\left(x \right)} + \cot^{2}{\left(x \right)}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
  /       2   \ /              /         2   \\
2*\1 + cot (x)/*\-2*cot(x) + x*\1 + 3*cot (x)//
2(x(3cot⁡2(x)+1)−2cot⁡(x))(cot⁡2(x)+1)2 \left(x \left(3 \cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) - 2 \cot{\left(x \right)}\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)
Simplificar
Tercera derivada [src] 
  /       2   \ /         2          /         2   \       \
2*\1 + cot (x)/*\3 + 9*cot (x) - 4*x*\2 + 3*cot (x)/*cot(x)/
2(cot⁡2(x)+1)(−4x(3cot⁡2(x)+2)cot⁡(x)+9cot⁡2(x)+3)2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(- 4 x \left(3 \cot^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \cot{\left(x \right)} + 9 \cot^{2}{\left(x \right)} + 3\right)
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=x*ctg^2x
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