Derivada de x*x^2cos(x)exp(-x)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x^{3} \cos{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = e^{x}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x^{3}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

      $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Como resultado de: $- x^{3} \sin{\left(x \right)} + 3 x^{2} \cos{\left(x \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Derivado $e^{x}$ es.

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\left(- x^{3} e^{x} \cos{\left(x \right)} + \left(- x^{3} \sin{\left(x \right)} + 3 x^{2} \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}\right) e^{- 2 x}$

2. Simplificamos:

   $x^{2} \left(- \sqrt{2} x \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) e^{- x}$

Respuesta:

$x^{2} \left(- \sqrt{2} x \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) e^{- x}$