Derivada de (ln(x+8)-3x+2)/x

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = - 3 x + \log{\left(x + 8 \right)} + 2$ y $g{\left(x \right)} = x$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $- 3 x + \log{\left(x + 8 \right)} + 2$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $2$ es igual a cero.

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $-3$

      3. Sustituimos $u = x + 8$.

      4. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

      5. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 8\right)$:

         1. diferenciamos $x + 8$ miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            2. La derivada de una constante $8$ es igual a cero.

            Como resultado de: $1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{1}{x + 8}$

      Como resultado de: $-3 + \frac{1}{x + 8}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{x \left(-3 + \frac{1}{x + 8}\right) + 3 x - \log{\left(x + 8 \right)} - 2}{x^{2}}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{x \log{\left(x + 8 \right)} + x + 8 \log{\left(x + 8 \right)} + 16}{x^{2} \left(x + 8\right)}$

Respuesta:

$- \frac{x \log{\left(x + 8 \right)} + x + 8 \log{\left(x + 8 \right)} + 16}{x^{2} \left(x + 8\right)}$