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(x*x-4)/((x-1)^2*(4-x)^2)

Derivada de (x*x-4)/((x-1)^2*(4-x)^2)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
     x*x - 4     
-----------------
       2        2
(x - 1) *(4 - x) 
xx4(4x)2(x1)2\frac{x x - 4}{\left(4 - x\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}}
(x*x - 4)/(((x - 1)^2*(4 - x)^2))
Solución detallada
  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=x24f{\left(x \right)} = x^{2} - 4 y g(x)=(4x)2(x1)2g{\left(x \right)} = \left(4 - x\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}.

    Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. diferenciamos x24x^{2} - 4 miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante 4-4 es igual a cero.

      2. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

      Como resultado de: 2x2 x

    Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

      f(x)=(x1)2f{\left(x \right)} = \left(x - 1\right)^{2}; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=x1u = x - 1.

      2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x1)\frac{d}{d x} \left(x - 1\right):

        1. diferenciamos x1x - 1 miembro por miembro:

          1. La derivada de una constante 1-1 es igual a cero.

          2. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Como resultado de: 11

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        2x22 x - 2

      g(x)=(4x)2g{\left(x \right)} = \left(4 - x\right)^{2}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=4xu = 4 - x.

      2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(4x)\frac{d}{d x} \left(4 - x\right):

        1. diferenciamos 4x4 - x miembro por miembro:

          1. La derivada de una constante 44 es igual a cero.

          2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

            Entonces, como resultado: 1-1

          Como resultado de: 1-1

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        2x82 x - 8

      Como resultado de: (4x)2(2x2)+(x1)2(2x8)\left(4 - x\right)^{2} \left(2 x - 2\right) + \left(x - 1\right)^{2} \left(2 x - 8\right)

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    2x(4x)2(x1)2(x24)((4x)2(2x2)+(x1)2(2x8))(4x)4(x1)4\frac{2 x \left(4 - x\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2} - \left(x^{2} - 4\right) \left(\left(4 - x\right)^{2} \left(2 x - 2\right) + \left(x - 1\right)^{2} \left(2 x - 8\right)\right)}{\left(4 - x\right)^{4} \left(x - 1\right)^{4}}

  2. Simplificamos:

    2(x(x4)(x1)(2x5)(x24))(x4)3(x1)3\frac{2 \left(x \left(x - 4\right) \left(x - 1\right) - \left(2 x - 5\right) \left(x^{2} - 4\right)\right)}{\left(x - 4\right)^{3} \left(x - 1\right)^{3}}


Respuesta:

2(x(x4)(x1)(2x5)(x24))(x4)3(x1)3\frac{2 \left(x \left(x - 4\right) \left(x - 1\right) - \left(2 x - 5\right) \left(x^{2} - 4\right)\right)}{\left(x - 4\right)^{3} \left(x - 1\right)^{3}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-101020000-10000
Primera derivada [src]
                                  /         2                     2           \
            1           (x*x - 4)*\- (4 - x) *(-2 + 2*x) - (x - 1) *(-8 + 2*x)/
2*x*----------------- + -------------------------------------------------------
           2        2                             4        4                   
    (4 - x) *(x - 1)                       (4 - x) *(x - 1)                    
2x1(4x)2(x1)2+(xx4)((4x)2(2x2)(x1)2(2x8))(4x)4(x1)42 x \frac{1}{\left(4 - x\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} + \frac{\left(x x - 4\right) \left(- \left(4 - x\right)^{2} \left(2 x - 2\right) - \left(x - 1\right)^{2} \left(2 x - 8\right)\right)}{\left(4 - x\right)^{4} \left(x - 1\right)^{4}}
Segunda derivada [src]
  /              /                                                                       2           2                      \                    \
  |    /      2\ |2*(-5 + 2*x)   2*(-5 + 2*x)                /  1        1   \   (-1 + x)  + (-4 + x)  + 4*(-1 + x)*(-4 + x)|                    |
  |    \-4 + x /*|------------ + ------------ + 2*(-5 + 2*x)*|------ + ------| - -------------------------------------------|                    |
  |              \   -1 + x         -4 + x                   \-1 + x   -4 + x/                (-1 + x)*(-4 + x)             /     4*x*(-5 + 2*x) |
2*|1 + ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - -----------------|
  \                                                      (-1 + x)*(-4 + x)                                                      (-1 + x)*(-4 + x)/
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                       2         2                                                                
                                                               (-1 + x) *(-4 + x)                                                                 
2(4x(2x5)(x4)(x1)+1+(x24)(2(2x5)(1x1+1x4)+2(2x5)x1+2(2x5)x4(x4)2+4(x4)(x1)+(x1)2(x4)(x1))(x4)(x1))(x4)2(x1)2\frac{2 \left(- \frac{4 x \left(2 x - 5\right)}{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right)} + 1 + \frac{\left(x^{2} - 4\right) \left(2 \left(2 x - 5\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 4}\right) + \frac{2 \left(2 x - 5\right)}{x - 1} + \frac{2 \left(2 x - 5\right)}{x - 4} - \frac{\left(x - 4\right)^{2} + 4 \left(x - 4\right) \left(x - 1\right) + \left(x - 1\right)^{2}}{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right)}\right)}{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right)}\right)}{\left(x - 4\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}}
Tercera derivada [src]
  /                     /                                                                                                                                                                                                        /  1        1   \                /  1        1   \                       /  1        1   \ /        2           2                      \\                                                                                                                   \
  |                     |                                                                                         /        2           2                      \     /        2           2                      \   2*(-5 + 2*x)*|------ + ------|   2*(-5 + 2*x)*|------ + ------|                       |------ + ------|*\(-1 + x)  + (-4 + x)  + 4*(-1 + x)*(-4 + x)/|       /                                                                       2           2                      \|
  |           /      2\ |           /    3           3               4        \   5*(-5 + 2*x)   5*(-5 + 2*x)   3*\(-1 + x)  + (-4 + x)  + 4*(-1 + x)*(-4 + x)/   3*\(-1 + x)  + (-4 + x)  + 4*(-1 + x)*(-4 + x)/                \-1 + x   -4 + x/                \-1 + x   -4 + x/     11*(-5 + 2*x)     \-1 + x   -4 + x/                                              |       |2*(-5 + 2*x)   2*(-5 + 2*x)                /  1        1   \   (-1 + x)  + (-4 + x)  + 4*(-1 + x)*(-4 + x)||
4*|15 - 6*x - \-4 + x /*|(-5 + 2*x)*|--------- + --------- + -----------------| + ------------ + ------------ - ----------------------------------------------- - ----------------------------------------------- + ------------------------------ + ------------------------------ + ----------------- - ---------------------------------------------------------------| + 3*x*|------------ + ------------ + 2*(-5 + 2*x)*|------ + ------| - -------------------------------------------||
  |                     |           |        2           2   (-1 + x)*(-4 + x)|            2              2                                     2                                        2                                      -1 + x                           -4 + x               (-1 + x)*(-4 + x)                          (-1 + x)*(-4 + x)                       |       \   -1 + x         -4 + x                   \-1 + x   -4 + x/                (-1 + x)*(-4 + x)             /|
  \                     \           \(-1 + x)    (-4 + x)                     /    (-1 + x)       (-4 + x)                     (-1 + x)*(-4 + x)                                 (-1 + x) *(-4 + x)                                                                                                                                                                      /                                                                                                                   /
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                                                                                                             3         3                                                                                                                                                                                                                                      
                                                                                                                                                                                                                                     (-1 + x) *(-4 + x)                                                                                                                                                                                                                                       
4(3x(2(2x5)(1x1+1x4)+2(2x5)x1+2(2x5)x4(x4)2+4(x4)(x1)+(x1)2(x4)(x1))6x(x24)((2x5)(3(x1)2+4(x4)(x1)+3(x4)2)+2(2x5)(1x1+1x4)x1+5(2x5)(x1)2+2(2x5)(1x1+1x4)x4+11(2x5)(x4)(x1)(1x1+1x4)((x4)2+4(x4)(x1)+(x1)2)(x4)(x1)3((x4)2+4(x4)(x1)+(x1)2)(x4)(x1)2+5(2x5)(x4)23((x4)2+4(x4)(x1)+(x1)2)(x4)2(x1))+15)(x4)3(x1)3\frac{4 \left(3 x \left(2 \left(2 x - 5\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 4}\right) + \frac{2 \left(2 x - 5\right)}{x - 1} + \frac{2 \left(2 x - 5\right)}{x - 4} - \frac{\left(x - 4\right)^{2} + 4 \left(x - 4\right) \left(x - 1\right) + \left(x - 1\right)^{2}}{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right)}\right) - 6 x - \left(x^{2} - 4\right) \left(\left(2 x - 5\right) \left(\frac{3}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{4}{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right)} + \frac{3}{\left(x - 4\right)^{2}}\right) + \frac{2 \left(2 x - 5\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 4}\right)}{x - 1} + \frac{5 \left(2 x - 5\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{2 \left(2 x - 5\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 4}\right)}{x - 4} + \frac{11 \left(2 x - 5\right)}{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right)} - \frac{\left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 4}\right) \left(\left(x - 4\right)^{2} + 4 \left(x - 4\right) \left(x - 1\right) + \left(x - 1\right)^{2}\right)}{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right)} - \frac{3 \left(\left(x - 4\right)^{2} + 4 \left(x - 4\right) \left(x - 1\right) + \left(x - 1\right)^{2}\right)}{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right)^{2}} + \frac{5 \left(2 x - 5\right)}{\left(x - 4\right)^{2}} - \frac{3 \left(\left(x - 4\right)^{2} + 4 \left(x - 4\right) \left(x - 1\right) + \left(x - 1\right)^{2}\right)}{\left(x - 4\right)^{2} \left(x - 1\right)}\right) + 15\right)}{\left(x - 4\right)^{3} \left(x - 1\right)^{3}}
Gráfico
Derivada de (x*x-4)/((x-1)^2*(4-x)^2)