Sr Examen

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y=ctg(x)*cos(x)+sqrt(x)
Derivada de la función/ tg(x)/ y=ctg/ cos(x)/ sqrt(x)/ y=ctg(x)*cos(x)+sqrt(x)

Derivada de y=ctg(x)*cos(x)+sqrt(x)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                  ___
cot(x)*cos(x) + \/ x
x+cos⁡(x)cot⁡(x)\sqrt{x} + \cos{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)} 
cot(x)*cos(x) + sqrt(x)
Solución detallada

  1. diferenciamos x+cos⁡(x)cot⁡(x)\sqrt{x} + \cos{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)} miembro por miembro:

    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

      f(x)=cot⁡(x)f{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)}; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

        Method #1

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          cot⁡(x)=1tan⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}

        2. Sustituimos u=tan⁡(x)u = \tan{\left(x \right)}.

        3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos −1u2- \frac{1}{u^{2}}

        4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}:

          1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

          2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

            f(x)=sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y g(x)=cos⁡(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

            Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

            1. La derivada del seno es igual al coseno:

              ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

            Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

            1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

              ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          −sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

        Method #2

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          cot⁡(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

        2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

          ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

          f(x)=cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} y g(x)=sin⁡(x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

          Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

          Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. La derivada del seno es igual al coseno:

            ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

          Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

          −sin⁡2(x)−cos⁡2(x)sin⁡2(x)\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

      g(x)=cos⁡(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

        ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

      Como resultado de: −sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡(x)tan⁡2(x)−sin⁡(x)cot⁡(x)- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} - \sin{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}

    2. Según el principio, aplicamos: x\sqrt{x} tenemos 12x\frac{1}{2 \sqrt{x}}

    Como resultado de: −sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡(x)tan⁡2(x)−sin⁡(x)cot⁡(x)+12x- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} - \sin{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}

  2. Simplificamos:

    −cos⁡(x)−cos⁡(x)sin⁡2(x)+12x- \cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}

Respuesta:

−cos⁡(x)−cos⁡(x)sin⁡2(x)+12x- \cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-1000010000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
   1      /        2   \                       
------- + \-1 - cot (x)/*cos(x) - cot(x)*sin(x)
    ___                                        
2*\/ x
(−cot⁡2(x)−1)cos⁡(x)−sin⁡(x)cot⁡(x)+12x\left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
    1                        /       2   \            /       2   \              
- ------ - cos(x)*cot(x) + 2*\1 + cot (x)/*sin(x) + 2*\1 + cot (x)/*cos(x)*cot(x)
     3/2                                                                         
  4*x
2(cot⁡2(x)+1)sin⁡(x)+2(cot⁡2(x)+1)cos⁡(x)cot⁡(x)−cos⁡(x)cot⁡(x)−14x322 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} + 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                                        2                                                                                                 
  3                        /       2   \             /       2   \            /       2   \                      2    /       2   \       
------ + cot(x)*sin(x) - 2*\1 + cot (x)/ *cos(x) + 3*\1 + cot (x)/*cos(x) - 6*\1 + cot (x)/*cot(x)*sin(x) - 4*cot (x)*\1 + cot (x)/*cos(x)
   5/2                                                                                                                                    
8*x
−2(cot⁡2(x)+1)2cos⁡(x)−6(cot⁡2(x)+1)sin⁡(x)cot⁡(x)−4(cot⁡2(x)+1)cos⁡(x)cot⁡2(x)+3(cot⁡2(x)+1)cos⁡(x)+sin⁡(x)cot⁡(x)+38x52- 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \cos{\left(x \right)} - 6 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)} - 4 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} \cot^{2}{\left(x \right)} + 3 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)} + \frac{3}{8 x^{\frac{5}{2}}}
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=ctg(x)*cos(x)+sqrt(x)
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