Derivada de y=tanx\/2x+1

1. diferenciamos $x \frac{\tan{\left(x \right)}}{2} + 1$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = x \tan{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = 2$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         $g{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

         2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

            Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. La derivada del seno es igual al coseno:

               $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

            Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

               $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

         Como resultado de: $\frac{x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \tan{\left(x \right)}$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. La derivada de una constante $2$ es igual a cero.

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\tan{\left(x \right)}}{2}$

   2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

   Como resultado de: $\frac{x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\tan{\left(x \right)}}{2}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}$