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Derivada de y=ln(a+x+√(2ax+x^2))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
   /           ____________\
   |          /          2 |
log\a + x + \/  2*a*x + x  /
$$\log{\left(\left(a + x\right) + \sqrt{2 a x + x^{2}} \right)}$$
log(a + x + sqrt((2*a)*x + x^2))
Solución detallada
  1. Sustituimos .

  2. Derivado es .

  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por :

    1. diferenciamos miembro por miembro:

      1. diferenciamos miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante es igual a cero.

        2. Según el principio, aplicamos: tenemos

        Como resultado de:

      2. Sustituimos .

      3. Según el principio, aplicamos: tenemos

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por :

        1. diferenciamos miembro por miembro:

          1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: tenemos

            Entonces, como resultado:

          2. Según el principio, aplicamos: tenemos

          Como resultado de:

        Como resultado de la secuencia de reglas:

      Como resultado de:

    Como resultado de la secuencia de reglas:

  4. Simplificamos:


Respuesta:

Primera derivada [src]
           a + x       
  1 + ---------------  
         ____________  
        /          2   
      \/  2*a*x + x    
-----------------------
           ____________
          /          2 
a + x + \/  2*a*x + x  
$$\frac{\frac{a + x}{\sqrt{2 a x + x^{2}}} + 1}{\left(a + x\right) + \sqrt{2 a x + x^{2}}}$$
Segunda derivada [src]
 /                                         2\ 
 |              2     /         a + x     \ | 
 |       (a + x)      |1 + ---------------| | 
 |-1 + -----------    |      _____________| | 
 |     x*(x + 2*a)    \    \/ x*(x + 2*a) / | 
-|---------------- + -----------------------| 
 |  _____________              _____________| 
 \\/ x*(x + 2*a)     a + x + \/ x*(x + 2*a) / 
----------------------------------------------
                     _____________            
           a + x + \/ x*(x + 2*a)             
$$- \frac{\frac{\left(1 + \frac{a + x}{\sqrt{x \left(2 a + x\right)}}\right)^{2}}{a + x + \sqrt{x \left(2 a + x\right)}} + \frac{-1 + \frac{\left(a + x\right)^{2}}{x \left(2 a + x\right)}}{\sqrt{x \left(2 a + x\right)}}}{a + x + \sqrt{x \left(2 a + x\right)}}$$
Tercera derivada [src]
                        3                                                           /              2 \
   /         a + x     \       /              2 \             /         a + x     \ |       (a + x)  |
 2*|1 + ---------------|       |       (a + x)  |           3*|1 + ---------------|*|-1 + -----------|
   |      _____________|     3*|-1 + -----------|*(a + x)     |      _____________| \     x*(x + 2*a)/
   \    \/ x*(x + 2*a) /       \     x*(x + 2*a)/             \    \/ x*(x + 2*a) /                   
-------------------------- + ---------------------------- + ------------------------------------------
                         2                      3/2           _____________ /          _____________\ 
/          _____________\          (x*(x + 2*a))            \/ x*(x + 2*a) *\a + x + \/ x*(x + 2*a) / 
\a + x + \/ x*(x + 2*a) /                                                                             
------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                 _____________                                        
                                       a + x + \/ x*(x + 2*a)                                         
$$\frac{\frac{2 \left(1 + \frac{a + x}{\sqrt{x \left(2 a + x\right)}}\right)^{3}}{\left(a + x + \sqrt{x \left(2 a + x\right)}\right)^{2}} + \frac{3 \left(-1 + \frac{\left(a + x\right)^{2}}{x \left(2 a + x\right)}\right) \left(1 + \frac{a + x}{\sqrt{x \left(2 a + x\right)}}\right)}{\sqrt{x \left(2 a + x\right)} \left(a + x + \sqrt{x \left(2 a + x\right)}\right)} + \frac{3 \left(-1 + \frac{\left(a + x\right)^{2}}{x \left(2 a + x\right)}\right) \left(a + x\right)}{\left(x \left(2 a + x\right)\right)^{\frac{3}{2}}}}{a + x + \sqrt{x \left(2 a + x\right)}}$$