Derivada de y=3lnx-5ctgx+7^x+3x^-4-12

1. diferenciamos $\left(\left(7^{x} + \left(3 \log{\left(x \right)} - 5 \cot{\left(x \right)}\right)\right) + \frac{3}{x^{4}}\right) - 12$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $\left(7^{x} + \left(3 \log{\left(x \right)} - 5 \cot{\left(x \right)}\right)\right) + \frac{3}{x^{4}}$ miembro por miembro:

      1. diferenciamos $7^{x} + \left(3 \log{\left(x \right)} - 5 \cot{\left(x \right)}\right)$ miembro por miembro:

         1. diferenciamos $3 \log{\left(x \right)} - 5 \cot{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

               Entonces, como resultado: $\frac{3}{x}$

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

                  Method #1

                  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

                     $\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$

                  2. Sustituimos $u = \tan{\left(x \right)}$.

                  3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

                  4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$:

                     1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

                        $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

                     2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

                        $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

                        $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

                        Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

                        1. La derivada del seno es igual al coseno:

                           $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

                        Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

                        1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                           $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

                        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

                        $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

                     Como resultado de la secuencia de reglas:

                     $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$

                  Method #2

                  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

                     $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

                  2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

                     $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

                     $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

                     Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

                     1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                        $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

                     Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

                     1. La derivada del seno es igual al coseno:

                        $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

                     Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

                     $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

               Entonces, como resultado: $\frac{5 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$

            Como resultado de: $\frac{5 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{3}{x}$

         2. $\frac{d}{d x} 7^{x} = 7^{x} \log{\left(7 \right)}$

         Como resultado de: $7^{x} \log{\left(7 \right)} + \frac{5 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{3}{x}$

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{x^{4}}$ tenemos $- \frac{4}{x^{5}}$

         Entonces, como resultado: $- \frac{12}{x^{5}}$

      Como resultado de: $7^{x} \log{\left(7 \right)} + \frac{5 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{3}{x} - \frac{12}{x^{5}}$

   2. La derivada de una constante $-12$ es igual a cero.

   Como resultado de: $7^{x} \log{\left(7 \right)} + \frac{5 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{3}{x} - \frac{12}{x^{5}}$

2. Simplificamos:

   $7^{x} \log{\left(7 \right)} + \frac{5}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{3}{x} - \frac{12}{x^{5}}$

Respuesta:

$7^{x} \log{\left(7 \right)} + \frac{5}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{3}{x} - \frac{12}{x^{5}}$