Derivada de z^2/((z^2+4)^3)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d z} \frac{f{\left(z \right)}}{g{\left(z \right)}} = \frac{- f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}}{g^{2}{\left(z \right)}}$

   $f{\left(z \right)} = z^{2}$ y $g{\left(z \right)} = \left(z^{2} + 4\right)^{3}$.

   Para calcular $\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $z^{2}$ tenemos $2 z$

   Para calcular $\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}$:

   1. Sustituimos $u = z^{2} + 4$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d z} \left(z^{2} + 4\right)$:

      1. diferenciamos $z^{2} + 4$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $4$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $z^{2}$ tenemos $2 z$

         Como resultado de: $2 z$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $6 z \left(z^{2} + 4\right)^{2}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- 6 z^{3} \left(z^{2} + 4\right)^{2} + 2 z \left(z^{2} + 4\right)^{3}}{\left(z^{2} + 4\right)^{6}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{4 z \left(2 - z^{2}\right)}{\left(z^{2} + 4\right)^{4}}$

Respuesta:

$\frac{4 z \left(2 - z^{2}\right)}{\left(z^{2} + 4\right)^{4}}$