Derivada de (x*x*x+6*x*x+12x+9)/(x+2)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 9$ y $g{\left(x \right)} = x + 2$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 9$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $9$ es igual a cero.

      2. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

      3. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

         Entonces, como resultado: $12 x$

      4. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $12$

      Como resultado de: $3 x^{2} + 12 x + 12$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $x + 2$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $2$ es igual a cero.

      2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Como resultado de: $1$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- x^{3} - 6 x^{2} - 12 x + \left(x + 2\right) \left(3 x^{2} + 12 x + 12\right) - 9}{\left(x + 2\right)^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 24 x + 15}{x^{2} + 4 x + 4}$

Respuesta:

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 24 x + 15}{x^{2} + 4 x + 4}$