Derivada de y=(e^x-e^-x)/2x

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x \left(e^{2 x} - 1\right)$ y $g{\left(x \right)} = 2 e^{x}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = e^{2 x} - 1$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $e^{2 x} - 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

         2. Sustituimos $u = 2 x$.

         3. Derivado $e^{u}$ es.

         4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $2$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $2 e^{2 x}$

         Como resultado de: $2 e^{2 x}$

      Como resultado de: $2 x e^{2 x} + e^{2 x} - 1$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Derivado $e^{x}$ es.

      Entonces, como resultado: $2 e^{x}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{\left(- 2 x \left(e^{2 x} - 1\right) e^{x} + 2 \left(2 x e^{2 x} + e^{2 x} - 1\right) e^{x}\right) e^{- 2 x}}{4}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(x e^{2 x} + x + e^{2 x} - 1\right) e^{- x}}{2}$

Respuesta:

$\frac{\left(x e^{2 x} + x + e^{2 x} - 1\right) e^{- x}}{2}$