Derivada de y=⅜x+⅜sinxcosx+¼cos³xsinx

Solución

Ha introducido [src]

                           3          
3*x   3*sin(x)          cos (x)       
--- + --------*cos(x) + -------*sin(x)
 8       8                 4

$$\left(\frac{3 x}{8} + \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{8} \cos{\left(x \right)}\right) + \sin{\left(x \right)} \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{4}$$

3*x/8 + (3*sin(x)/8)*cos(x) + (cos(x)^3/4)*sin(x)

Solución detallada

diferenciamos $\left(\frac{3 x}{8} + \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{8} \cos{\left(x \right)}\right) + \sin{\left(x \right)} \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{4}$ miembro por miembro:
1. diferenciamos $\frac{3 x}{8} + \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{8} \cos{\left(x \right)}$ miembro por miembro:
  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
    1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
    Entonces, como resultado: $\frac{3}{8}$
  2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = 8$ .
    
    Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
        
        $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
        
        $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
        
        La derivada del coseno es igual a menos el seno:
        
        $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
        
        $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
        
        La derivada del seno es igual al coseno:
        
        $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
        
        Como resultado de: $- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$
      Entonces, como resultado: $- 3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(x \right)}$
    Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada de una constante $8$ es igual a cero.
    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
    
    $- \frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{8}$
  Como resultado de: $- \frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{8} + \frac{3}{8}$
2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = 4$ .
  
  Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
    
    $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
    
    $f{\left(x \right)} = \cos^{3}{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Sustituimos $u = \cos{\left(x \right)}$ .
    2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$
    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$ :
      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
        
        $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $- 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$
    $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Como resultado de: $- 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)}$
  Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. La derivada de una constante $4$ es igual a cero.
  Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
  
  $- \frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}$
Como resultado de: $- \frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{4} - \frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)}}{8} + \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{8} + \frac{3}{8}$
Simplificamos:

$\cos^{4}{\left(x \right)}$

Respuesta:

$\cos^{4}{\left(x \right)}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

         2         4           2           2       2   
3   3*sin (x)   cos (x)   3*cos (x)   3*cos (x)*sin (x)
- - --------- + ------- + --------- - -----------------
8       8          4          8               4

$$- \frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{4} - \frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)}}{8} + \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{8} + \frac{3}{8}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

/          2           2   \              
\-3 - 5*cos (x) + 3*sin (x)/*cos(x)*sin(x)
------------------------------------------
                    2

$$\frac{\left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} - 5 \cos^{2}{\left(x \right)} - 3\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

       4           2           4           2                        
  5*cos (x)   3*cos (x)   3*sin (x)   3*sin (x)         2       2   
- --------- - --------- - --------- + --------- + 12*cos (x)*sin (x)
      2           2           2           2

$$- \frac{3 \sin^{4}{\left(x \right)}}{2} + 12 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)}}{2} - \frac{5 \cos^{4}{\left(x \right)}}{2} - \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$$

Simplificar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Derivada de y=⅜x+⅜sinxcosx+¼cos³xsinx

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución