Derivada de x*exp(-x)(sin2x-cosx)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x \left(\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)$ y $g{\left(x \right)} = e^{x}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

               $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

            Entonces, como resultado: $\sin{\left(x \right)}$

         2. Sustituimos $u = 2 x$.

         3. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $2$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $2 \cos{\left(2 x \right)}$

         Como resultado de: $\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}$

      Como resultado de: $x \left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) + \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Derivado $e^{x}$ es.

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\left(- x \left(\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{x} + \left(x \left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) + \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}\right) e^{- 2 x}$

2. Simplificamos:

   $\left(- x \sin{\left(2 x \right)} + \sqrt{2} x \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + 2 x \cos{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{- x}$

Respuesta:

$\left(- x \sin{\left(2 x \right)} + \sqrt{2} x \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + 2 x \cos{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{- x}$