Derivada de y=1/4(tan(-7x-4))

1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

   1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\tan{\left(- 7 x - 4 \right)} = - \frac{\sin{\left(7 x + 4 \right)}}{\cos{\left(7 x + 4 \right)}}$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(7 x + 4 \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(7 x + 4 \right)}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 7 x + 4$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(7 x + 4\right)$:

            1. diferenciamos $7 x + 4$ miembro por miembro:

               1. La derivada de una constante $4$ es igual a cero.

               2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $7$

               Como resultado de: $7$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $7 \cos{\left(7 x + 4 \right)}$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 7 x + 4$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(7 x + 4\right)$:

            1. diferenciamos $7 x + 4$ miembro por miembro:

               1. La derivada de una constante $4$ es igual a cero.

               2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $7$

               Como resultado de: $7$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- 7 \sin{\left(7 x + 4 \right)}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{7 \sin^{2}{\left(7 x + 4 \right)} + 7 \cos^{2}{\left(7 x + 4 \right)}}{\cos^{2}{\left(7 x + 4 \right)}}$

      Entonces, como resultado: $- \frac{7 \sin^{2}{\left(7 x + 4 \right)} + 7 \cos^{2}{\left(7 x + 4 \right)}}{\cos^{2}{\left(7 x + 4 \right)}}$

   Entonces, como resultado: $- \frac{7 \sin^{2}{\left(7 x + 4 \right)} + 7 \cos^{2}{\left(7 x + 4 \right)}}{4 \cos^{2}{\left(7 x + 4 \right)}}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{7}{4 \cos^{2}{\left(7 x + 4 \right)}}$

Respuesta:

$- \frac{7}{4 \cos^{2}{\left(7 x + 4 \right)}}$