Derivada de y=cos(10*x)*sin(10*x)^2*0.1*10*x

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 10 x \sin^{2}{\left(10 x \right)} \cos{\left(10 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = 10$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} h{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} h{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} h{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} h{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         $g{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(10 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = \sin{\left(10 x \right)}$.

         2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(10 x \right)}$:

            1. Sustituimos $u = 10 x$.

            2. La derivada del seno es igual al coseno:

               $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 10 x$:

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $10$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $10 \cos{\left(10 x \right)}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $20 \sin{\left(10 x \right)} \cos{\left(10 x \right)}$

         $h{\left(x \right)} = \cos{\left(10 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} h{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 10 x$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 10 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $10$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- 10 \sin{\left(10 x \right)}$

         Como resultado de: $- 10 x \sin^{3}{\left(10 x \right)} + 20 x \sin{\left(10 x \right)} \cos^{2}{\left(10 x \right)} + \sin^{2}{\left(10 x \right)} \cos{\left(10 x \right)}$

      Entonces, como resultado: $- 100 x \sin^{3}{\left(10 x \right)} + 200 x \sin{\left(10 x \right)} \cos^{2}{\left(10 x \right)} + 10 \sin^{2}{\left(10 x \right)} \cos{\left(10 x \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada de una constante $10$ es igual a cero.

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $- 10 x \sin^{3}{\left(10 x \right)} + 20 x \sin{\left(10 x \right)} \cos^{2}{\left(10 x \right)} + \sin^{2}{\left(10 x \right)} \cos{\left(10 x \right)}$

2. Simplificamos:

   $\left(- 10 x \sin^{2}{\left(10 x \right)} + 20 x \cos^{2}{\left(10 x \right)} + \frac{\sin{\left(20 x \right)}}{2}\right) \sin{\left(10 x \right)}$

Respuesta:

$\left(- 10 x \sin^{2}{\left(10 x \right)} + 20 x \cos^{2}{\left(10 x \right)} + \frac{\sin{\left(20 x \right)}}{2}\right) \sin{\left(10 x \right)}$