Derivada de y=(3x+5)^2(2x^2+3)(x+7)^2

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \left(3 x + 5\right)^{2} \left(2 x^{2} + 3\right)$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = \left(3 x + 5\right)^{2}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 3 x + 5$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(3 x + 5\right)$:

         1. diferenciamos $3 x + 5$ miembro por miembro:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $3$

            2. La derivada de una constante $5$ es igual a cero.

            Como resultado de: $3$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $18 x + 30$

      $g{\left(x \right)} = 2 x^{2} + 3$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $2 x^{2} + 3$ miembro por miembro:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

            Entonces, como resultado: $4 x$

         2. La derivada de una constante $3$ es igual a cero.

         Como resultado de: $4 x$

      Como resultado de: $4 x \left(3 x + 5\right)^{2} + \left(18 x + 30\right) \left(2 x^{2} + 3\right)$

   $g{\left(x \right)} = \left(x + 7\right)^{2}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x + 7$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 7\right)$:

      1. diferenciamos $x + 7$ miembro por miembro:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         2. La derivada de una constante $7$ es igual a cero.

         Como resultado de: $1$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 x + 14$

   Como resultado de: $\left(x + 7\right)^{2} \left(4 x \left(3 x + 5\right)^{2} + \left(18 x + 30\right) \left(2 x^{2} + 3\right)\right) + \left(2 x + 14\right) \left(3 x + 5\right)^{2} \left(2 x^{2} + 3\right)$

2. Simplificamos:

   $108 x^{5} + 1560 x^{4} + 7196 x^{3} + 12324 x^{2} + 10216 x + 5460$

Respuesta:

$108 x^{5} + 1560 x^{4} + 7196 x^{3} + 12324 x^{2} + 10216 x + 5460$