Derivada de tanax

1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

   $\tan{\left(a x \right)} = \frac{\sin{\left(a x \right)}}{\cos{\left(a x \right)}}$

2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(a x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(a x \right)}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = a x$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{\partial}{\partial x} a x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $a$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $a \cos{\left(a x \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = a x$.

   2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{\partial}{\partial x} a x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $a$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- a \sin{\left(a x \right)}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{a \sin^{2}{\left(a x \right)} + a \cos^{2}{\left(a x \right)}}{\cos^{2}{\left(a x \right)}}$

3. Simplificamos:

   $\frac{a}{\cos^{2}{\left(a x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{a}{\cos^{2}{\left(a x \right)}}$