Derivada de y=√(1+x^2)^3/(3x^2)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}$ y $g{\left(x \right)} = 3 x^{2}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x^{2} + 1$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{\frac{3}{2}}$ tenemos $\frac{3 \sqrt{u}}{2}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right)$:

      1. diferenciamos $x^{2} + 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

         Como resultado de: $2 x$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $3 x \sqrt{x^{2} + 1}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

      Entonces, como resultado: $6 x$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{9 x^{3} \sqrt{x^{2} + 1} - 6 x \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{9 x^{4}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(x^{2} - 2\right) \sqrt{x^{2} + 1}}{3 x^{3}}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{2} - 2\right) \sqrt{x^{2} + 1}}{3 x^{3}}$