Derivada de (x*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4))/120

1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} \operatorname{f_{0}}{\left(x \right)} \operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} \operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} \operatorname{f_{3}}{\left(x \right)} \operatorname{f_{4}}{\left(x \right)} = \operatorname{f_{0}}{\left(x \right)} \operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} \operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} \operatorname{f_{3}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{f_{4}}{\left(x \right)} + \operatorname{f_{0}}{\left(x \right)} \operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} \operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} \operatorname{f_{4}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{f_{3}}{\left(x \right)} + \operatorname{f_{0}}{\left(x \right)} \operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} \operatorname{f_{3}}{\left(x \right)} \operatorname{f_{4}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} + \operatorname{f_{0}}{\left(x \right)} \operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} \operatorname{f_{3}}{\left(x \right)} \operatorname{f_{4}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} \operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} \operatorname{f_{3}}{\left(x \right)} \operatorname{f_{4}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{f_{0}}{\left(x \right)}$

      $\operatorname{f_{0}}{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} \operatorname{f_{0}}{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = x - 1$; calculamos $\frac{d}{d x} \operatorname{f_{1}}{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $x - 1$ miembro por miembro:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         2. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

         Como resultado de: $1$

      $\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = x - 4$; calculamos $\frac{d}{d x} \operatorname{f_{2}}{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $x - 4$ miembro por miembro:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         2. La derivada de una constante $-4$ es igual a cero.

         Como resultado de: $1$

      $\operatorname{f_{3}}{\left(x \right)} = x - 3$; calculamos $\frac{d}{d x} \operatorname{f_{3}}{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $x - 3$ miembro por miembro:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         2. La derivada de una constante $-3$ es igual a cero.

         Como resultado de: $1$

      $\operatorname{f_{4}}{\left(x \right)} = x - 2$; calculamos $\frac{d}{d x} \operatorname{f_{4}}{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $x - 2$ miembro por miembro:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         2. La derivada de una constante $-2$ es igual a cero.

         Como resultado de: $1$

      Como resultado de: $x \left(x - 4\right) \left(x - 3\right) \left(x - 2\right) + x \left(x - 4\right) \left(x - 3\right) \left(x - 1\right) + x \left(x - 4\right) \left(x - 2\right) \left(x - 1\right) + x \left(x - 3\right) \left(x - 2\right) \left(x - 1\right) + \left(x - 4\right) \left(x - 3\right) \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)$

   Entonces, como resultado: $\frac{x \left(x - 4\right) \left(x - 3\right) \left(x - 2\right)}{120} + \frac{x \left(x - 4\right) \left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}{120} + \frac{x \left(x - 4\right) \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{120} + \frac{x \left(x - 3\right) \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{120} + \frac{\left(x - 4\right) \left(x - 3\right) \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{120}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x^{4}}{24} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{7 x^{2}}{8} - \frac{5 x}{6} + \frac{1}{5}$

Respuesta:

$\frac{x^{4}}{24} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{7 x^{2}}{8} - \frac{5 x}{6} + \frac{1}{5}$