Derivada de y=cos(x/2)*(x-1)^5

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \frac{x}{2}$.

   2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $\frac{1}{2}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

   $g{\left(x \right)} = \left(x - 1\right)^{5}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x - 1$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{5}$ tenemos $5 u^{4}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x - 1\right)$:

      1. diferenciamos $x - 1$ miembro por miembro:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         2. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

         Como resultado de: $1$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $5 \left(x - 1\right)^{4}$

   Como resultado de: $- \frac{\left(x - 1\right)^{5} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + 5 \left(x - 1\right)^{4} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(x - 1\right)^{4} \left(\left(1 - x\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 10 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)}{2}$

Respuesta:

$\frac{\left(x - 1\right)^{4} \left(\left(1 - x\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 10 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)}{2}$