Derivada de y=(lnx/sinx)+ctgx

Solución

Ha introducido [src]

log(x)         
------ + cot(x)
sin(x)

$$\frac{\log{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \cot{\left(x \right)}$$

log(x)/sin(x) + cot(x)

Solución detallada

diferenciamos $\frac{\log{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \cot{\left(x \right)}$ miembro por miembro:
1. Se aplica la regla de la derivada parcial:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .
  
  Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$ .
  Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
  
  $\frac{- \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
2. Hay varias formas de calcular esta derivada.
  Method #1
  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
    
    $\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$
  2. Sustituimos $u = \tan{\left(x \right)}$ .
  3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$
  4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
      
      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
    2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
      
      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
  Method #2
  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
    
    $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$
  2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
    Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
    
    $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
Como resultado de: $\frac{- \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
Simplificamos:

$- \frac{x \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + x - \sin{\left(x \right)}}{x \sin^{2}{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$- \frac{x \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + x - \sin{\left(x \right)}}{x \sin^{2}{\left(x \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

        2         1       cos(x)*log(x)
-1 - cot (x) + -------- - -------------
               x*sin(x)         2      
                             sin (x)

$$- \frac{\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \cot^{2}{\left(x \right)} - 1 + \frac{1}{x \sin{\left(x \right)}}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

                                                               2          
log(x)       1         /       2   \           2*cos(x)   2*cos (x)*log(x)
------ - --------- + 2*\1 + cot (x)/*cot(x) - --------- + ----------------
sin(x)    2                                        2             3        
         x *sin(x)                            x*sin (x)       sin (x)

$$2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \log{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x \sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{1}{x^{2} \sin{\left(x \right)}}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

                 2                                                         3                                                 2   
    /       2   \         2    /       2   \       2          3       6*cos (x)*log(x)   5*cos(x)*log(x)    3*cos(x)    6*cos (x)
- 2*\1 + cot (x)/  - 4*cot (x)*\1 + cot (x)/ + --------- + -------- - ---------------- - --------------- + ---------- + ---------
                                                3          x*sin(x)          4                  2           2    2           3   
                                               x *sin(x)                  sin (x)            sin (x)       x *sin (x)   x*sin (x)

$$- 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} - 4 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(x \right)} - \frac{5 \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{6 \log{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}} + \frac{3}{x \sin{\left(x \right)}} + \frac{6 \cos^{2}{\left(x \right)}}{x \sin^{3}{\left(x \right)}} + \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{x^{2} \sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{2}{x^{3} \sin{\left(x \right)}}$$

Simplificar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Derivada de y=(lnx/sinx)+ctgx

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Method #1

Method #2