Derivada de (x*sqrt(x*sqrt(x)))^1/3

1. Sustituimos $u = x \sqrt{\sqrt{x} x}$.

2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt[3]{u}$ tenemos $\frac{1}{3 u^{\frac{2}{3}}}$

3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} x \sqrt{\sqrt{x} x}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \sqrt{\sqrt{x} x}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \sqrt{x} x$.

      2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt{x} x$:

         1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

            $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

            $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            $g{\left(x \right)} = \sqrt{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

            Como resultado de: $\frac{3 \sqrt{x}}{2}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{3 \sqrt{x}}{4 \sqrt{x^{\frac{3}{2}}}}$

      Como resultado de: $\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{4 \sqrt{x^{\frac{3}{2}}}} + \sqrt{\sqrt{x} x}$

   Como resultado de la secuencia de reglas:

   $\frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{4 \sqrt{x^{\frac{3}{2}}}} + \sqrt{\sqrt{x} x}}{3 \left(x \sqrt{x^{\frac{3}{2}}}\right)^{\frac{2}{3}}}$

4. Simplificamos:

   $\frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{12 \left(x \sqrt{x^{\frac{3}{2}}}\right)^{\frac{2}{3}} \sqrt{x^{\frac{3}{2}}}}$

Respuesta:

$\frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{12 \left(x \sqrt{x^{\frac{3}{2}}}\right)^{\frac{2}{3}} \sqrt{x^{\frac{3}{2}}}}$