Sr Examen

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y=ln^3(sin8*x)+ctg2*x
Derivada de la función/ y=ln^3/ y=ln^3(sin8*x)+ctg2*x

Derivada de y=ln^3(sin8*x)+ctg2*x

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   3                     
log (sin(8*x)) + cot(2*x)
log⁡(sin⁡(8x))3+cot⁡(2x)\log{\left(\sin{\left(8 x \right)} \right)}^{3} + \cot{\left(2 x \right)} 
log(sin(8*x))^3 + cot(2*x)
Solución detallada

  1. diferenciamos log⁡(sin⁡(8x))3+cot⁡(2x)\log{\left(\sin{\left(8 x \right)} \right)}^{3} + \cot{\left(2 x \right)} miembro por miembro:

    1. Sustituimos u=log⁡(sin⁡(8x))u = \log{\left(\sin{\left(8 x \right)} \right)}.

    2. Según el principio, aplicamos: u3u^{3} tenemos 3u23 u^{2}

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxlog⁡(sin⁡(8x))\frac{d}{d x} \log{\left(\sin{\left(8 x \right)} \right)}:

      1. Sustituimos u=sin⁡(8x)u = \sin{\left(8 x \right)}.

      2. Derivado log⁡(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxsin⁡(8x)\frac{d}{d x} \sin{\left(8 x \right)}:

        1. Sustituimos u=8xu = 8 x.

        2. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx8x\frac{d}{d x} 8 x:

          1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

            Entonces, como resultado: 88

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          8cos⁡(8x)8 \cos{\left(8 x \right)}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        8cos⁡(8x)sin⁡(8x)\frac{8 \cos{\left(8 x \right)}}{\sin{\left(8 x \right)}}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      24log⁡(sin⁡(8x))2cos⁡(8x)sin⁡(8x)\frac{24 \log{\left(\sin{\left(8 x \right)} \right)}^{2} \cos{\left(8 x \right)}}{\sin{\left(8 x \right)}}

    4. Hay varias formas de calcular esta derivada.

      Method #1

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        cot⁡(2x)=1tan⁡(2x)\cot{\left(2 x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(2 x \right)}}

      2. Sustituimos u=tan⁡(2x)u = \tan{\left(2 x \right)}.

      3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos −1u2- \frac{1}{u^{2}}

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(2x)\frac{d}{d x} \tan{\left(2 x \right)}:

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          tan⁡(2x)=sin⁡(2x)cos⁡(2x)\tan{\left(2 x \right)} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}

        2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

          ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

          f(x)=sin⁡(2x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)} y g(x)=cos⁡(2x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}.

          Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. Sustituimos u=2xu = 2 x.

          2. La derivada del seno es igual al coseno:

            ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

          3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx2x\frac{d}{d x} 2 x:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

              Entonces, como resultado: 22

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            2cos⁡(2x)2 \cos{\left(2 x \right)}

          Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. Sustituimos u=2xu = 2 x.

          2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

          3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx2x\frac{d}{d x} 2 x:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

              Entonces, como resultado: 22

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            −2sin⁡(2x)- 2 \sin{\left(2 x \right)}

          Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

          2sin⁡2(2x)+2cos⁡2(2x)cos⁡2(2x)\frac{2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        −2sin⁡2(2x)+2cos⁡2(2x)cos⁡2(2x)tan⁡2(2x)- \frac{2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)} \tan^{2}{\left(2 x \right)}}

      Method #2

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        cot⁡(2x)=cos⁡(2x)sin⁡(2x)\cot{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=cos⁡(2x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)} y g(x)=sin⁡(2x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Sustituimos u=2xu = 2 x.

        2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx2x\frac{d}{d x} 2 x:

          1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

            Entonces, como resultado: 22

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          −2sin⁡(2x)- 2 \sin{\left(2 x \right)}

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. Sustituimos u=2xu = 2 x.

        2. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx2x\frac{d}{d x} 2 x:

          1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

            Entonces, como resultado: 22

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          2cos⁡(2x)2 \cos{\left(2 x \right)}

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        −2sin⁡2(2x)−2cos⁡2(2x)sin⁡2(2x)\frac{- 2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}

    Como resultado de: −2sin⁡2(2x)+2cos⁡2(2x)cos⁡2(2x)tan⁡2(2x)+24log⁡(sin⁡(8x))2cos⁡(8x)sin⁡(8x)- \frac{2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)} \tan^{2}{\left(2 x \right)}} + \frac{24 \log{\left(\sin{\left(8 x \right)} \right)}^{2} \cos{\left(8 x \right)}}{\sin{\left(8 x \right)}}

  2. Simplificamos:

    24log⁡(sin⁡(8x))2tan⁡(8x)−2sin⁡2(2x)\frac{24 \log{\left(\sin{\left(8 x \right)} \right)}^{2}}{\tan{\left(8 x \right)}} - \frac{2}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}

Respuesta:

24log⁡(sin⁡(8x))2tan⁡(8x)−2sin⁡2(2x)\frac{24 \log{\left(\sin{\left(8 x \right)} \right)}^{2}}{\tan{\left(8 x \right)}} - \frac{2}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-10000050000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
                         2                   
          2        24*log (sin(8*x))*cos(8*x)
-2 - 2*cot (2*x) + --------------------------
                            sin(8*x)
24log⁡(sin⁡(8x))2cos⁡(8x)sin⁡(8x)−2cot⁡2(2x)−2\frac{24 \log{\left(\sin{\left(8 x \right)} \right)}^{2} \cos{\left(8 x \right)}}{\sin{\left(8 x \right)}} - 2 \cot^{2}{\left(2 x \right)} - 2
Simplificar
Segunda derivada [src] 
  /                                                       2         2                   2                   \
  |        2             /       2     \            24*cos (8*x)*log (sin(8*x))   48*cos (8*x)*log(sin(8*x))|
8*|- 24*log (sin(8*x)) + \1 + cot (2*x)/*cot(2*x) - --------------------------- + --------------------------|
  |                                                             2                            2              |
  \                                                          sin (8*x)                    sin (8*x)         /
8((cot⁡2(2x)+1)cot⁡(2x)−24log⁡(sin⁡(8x))2−24log⁡(sin⁡(8x))2cos⁡2(8x)sin⁡2(8x)+48log⁡(sin⁡(8x))cos⁡2(8x)sin⁡2(8x))8 \left(\left(\cot^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) \cot{\left(2 x \right)} - 24 \log{\left(\sin{\left(8 x \right)} \right)}^{2} - \frac{24 \log{\left(\sin{\left(8 x \right)} \right)}^{2} \cos^{2}{\left(8 x \right)}}{\sin^{2}{\left(8 x \right)}} + \frac{48 \log{\left(\sin{\left(8 x \right)} \right)} \cos^{2}{\left(8 x \right)}}{\sin^{2}{\left(8 x \right)}}\right)
Simplificar
Tercera derivada [src] 
   /                 2                                        3               3                                                          3         2                    2                   \
   |  /       2     \         2      /       2     \   192*cos (8*x)   576*cos (8*x)*log(sin(8*x))   576*cos(8*x)*log(sin(8*x))   192*cos (8*x)*log (sin(8*x))   192*log (sin(8*x))*cos(8*x)|
16*|- \1 + cot (2*x)/  - 2*cot (2*x)*\1 + cot (2*x)/ + ------------- - --------------------------- - -------------------------- + ---------------------------- + ---------------------------|
   |                                                        3                      3                          sin(8*x)                        3                            sin(8*x)         |
   \                                                     sin (8*x)              sin (8*x)                                                  sin (8*x)                                        /
16(−(cot⁡2(2x)+1)2−2(cot⁡2(2x)+1)cot⁡2(2x)+192log⁡(sin⁡(8x))2cos⁡(8x)sin⁡(8x)+192log⁡(sin⁡(8x))2cos⁡3(8x)sin⁡3(8x)−576log⁡(sin⁡(8x))cos⁡(8x)sin⁡(8x)−576log⁡(sin⁡(8x))cos⁡3(8x)sin⁡3(8x)+192cos⁡3(8x)sin⁡3(8x))16 \left(- \left(\cot^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right)^{2} - 2 \left(\cot^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(2 x \right)} + \frac{192 \log{\left(\sin{\left(8 x \right)} \right)}^{2} \cos{\left(8 x \right)}}{\sin{\left(8 x \right)}} + \frac{192 \log{\left(\sin{\left(8 x \right)} \right)}^{2} \cos^{3}{\left(8 x \right)}}{\sin^{3}{\left(8 x \right)}} - \frac{576 \log{\left(\sin{\left(8 x \right)} \right)} \cos{\left(8 x \right)}}{\sin{\left(8 x \right)}} - \frac{576 \log{\left(\sin{\left(8 x \right)} \right)} \cos^{3}{\left(8 x \right)}}{\sin^{3}{\left(8 x \right)}} + \frac{192 \cos^{3}{\left(8 x \right)}}{\sin^{3}{\left(8 x \right)}}\right)
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=ln^3(sin8*x)+ctg2*x
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