Derivada de x+ln(1/x)/exp

1. diferenciamos $x + \frac{\log{\left(\frac{1}{x} \right)}}{e^{x}}$ miembro por miembro:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{1}{x} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = e^{x}$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \frac{1}{x}$.

      2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{1}{x}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{x}$ tenemos $- \frac{1}{x^{2}}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \frac{1}{x}$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Derivado $e^{x}$ es.

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\left(- e^{x} \log{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{e^{x}}{x}\right) e^{- 2 x}$

   Como resultado de: $\left(- e^{x} \log{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{e^{x}}{x}\right) e^{- 2 x} + 1$

2. Simplificamos:

   $1 - e^{- x} \log{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{e^{- x}}{x}$

Respuesta:

$1 - e^{- x} \log{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{e^{- x}}{x}$