Derivada de y=√sinx÷sin√x

Ha introducido [src]

  ________
\/ sin(x) 
----------
   /  ___\
sin\\/ x /

\frac{\sqrt{\sin{\left(x \right)}}}{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}

sqrt(sin(x))/sin(sqrt(x))

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \sqrt{\sin{\left(x \right)}}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(\sqrt{x} \right)}$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = \sin{\left(x \right)}$ .
2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$ :
  1. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $\frac{\cos{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\sin{\left(x \right)}}}$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = \sqrt{x}$ .
2. La derivada del seno es igual al coseno:
  
  $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt{x}$ :
  1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $\frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{\frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)} \cos{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\sin{\left(x \right)}}} - \frac{\sqrt{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}}{\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}$
Simplificamos:

$\frac{\sqrt{x} \sin{\left(\sqrt{x} \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x} \sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} \sqrt{\sin{\left(x \right)}}}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{x} \sin{\left(\sqrt{x} \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x} \sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} \sqrt{\sin{\left(x \right)}}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

                            ________    /  ___\
         cos(x)           \/ sin(x) *cos\\/ x /
----------------------- - ---------------------
    ________    /  ___\        ___    2/  ___\ 
2*\/ sin(x) *sin\\/ x /    2*\/ x *sin \\/ x /

\frac{\cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(\sqrt{x} \right)} \sqrt{\sin{\left(x \right)}}} - \frac{\sqrt{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x} \sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}

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Segunda derivada [src]

                            /          /  ___\          2/  ___\\       2                       /  ___\    
      ________     ________ |1      cos\\/ x /     2*cos \\/ x /|    cos (x)        2*cos(x)*cos\\/ x /    
- 2*\/ sin(x)  + \/ sin(x) *|- + --------------- + -------------| - --------- - ---------------------------
                            |x    3/2    /  ___\        2/  ___\|      3/2        ___   ________    /  ___\
                            \    x   *sin\\/ x /   x*sin \\/ x //   sin   (x)   \/ x *\/ sin(x) *sin\\/ x /
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                     /  ___\                                               
                                                4*sin\\/ x /

\frac{\left(\frac{1}{x} + \frac{2 \cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{x \sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}} + \frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{\frac{3}{2}} \sin{\left(\sqrt{x} \right)}}\right) \sqrt{\sin{\left(x \right)}} - 2 \sqrt{\sin{\left(x \right)}} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{\frac{3}{2}}{\left(x \right)}} - \frac{2 \cos{\left(\sqrt{x} \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{x} \sin{\left(\sqrt{x} \right)} \sqrt{\sin{\left(x \right)}}}}{4 \sin{\left(\sqrt{x} \right)}}

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Tercera derivada [src]

                                                                                            /         2   \            /          /  ___\          2/  ___\\            /                   2    \           
                                                                                            |    3*cos (x)|            |1      cos\\/ x /     2*cos \\/ x /|            |    ________    cos (x) |    /  ___\
                                                                                            |2 + ---------|*cos(x)   3*|- + --------------- + -------------|*cos(x)   3*|2*\/ sin(x)  + ---------|*cos\\/ x /
             /            /  ___\           /  ___\         2/  ___\          3/  ___\  \   |        2    |            |x    3/2    /  ___\        2/  ___\|            |                  3/2   |           
    ________ |3      3*cos\\/ x /      5*cos\\/ x /    6*cos \\/ x /     6*cos \\/ x /  |   \     sin (x) /            \    x   *sin\\/ x /   x*sin \\/ x //            \               sin   (x)/           
- \/ sin(x) *|-- + --------------- + --------------- + -------------- + ----------------| + ---------------------- + ---------------------------------------------- + ---------------------------------------
             | 2    5/2    /  ___\    3/2    /  ___\    2    2/  ___\    3/2    3/  ___\|           ________                             ________                                   ___    /  ___\           
             \x    x   *sin\\/ x /   x   *sin\\/ x /   x *sin \\/ x /   x   *sin \\/ x //         \/ sin(x)                            \/ sin(x)                                  \/ x *sin\\/ x /           
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                      /  ___\                                                                                                
                                                                                                 8*sin\\/ x /

\frac{\frac{\left(2 + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\sin{\left(x \right)}}} + \frac{3 \left(\frac{1}{x} + \frac{2 \cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{x \sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}} + \frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{\frac{3}{2}} \sin{\left(\sqrt{x} \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\sin{\left(x \right)}}} - \left(\frac{3}{x^{2}} + \frac{6 \cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{2} \sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}} + \frac{5 \cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{\frac{3}{2}} \sin{\left(\sqrt{x} \right)}} + \frac{6 \cos^{3}{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{\frac{3}{2}} \sin^{3}{\left(\sqrt{x} \right)}} + \frac{3 \cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{\frac{5}{2}} \sin{\left(\sqrt{x} \right)}}\right) \sqrt{\sin{\left(x \right)}} + \frac{3 \left(2 \sqrt{\sin{\left(x \right)}} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{\frac{3}{2}}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x} \sin{\left(\sqrt{x} \right)}}}{8 \sin{\left(\sqrt{x} \right)}}

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¿Cómo usar?

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Derivada de y=√sinx÷sin√x

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución