Derivada de y=x^5+4x^4+x^3+7x+tg

1. diferenciamos $\left(7 x + \left(x^{3} + \left(x^{5} + 4 x^{4}\right)\right)\right) + \tan{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $7 x + \left(x^{3} + \left(x^{5} + 4 x^{4}\right)\right)$ miembro por miembro:

      1. diferenciamos $x^{3} + \left(x^{5} + 4 x^{4}\right)$ miembro por miembro:

         1. diferenciamos $x^{5} + 4 x^{4}$ miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: $x^{5}$ tenemos $5 x^{4}$

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x^{4}$ tenemos $4 x^{3}$

               Entonces, como resultado: $16 x^{3}$

            Como resultado de: $5 x^{4} + 16 x^{3}$

         2. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

         Como resultado de: $5 x^{4} + 16 x^{3} + 3 x^{2}$

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $7$

      Como resultado de: $5 x^{4} + 16 x^{3} + 3 x^{2} + 7$

   2. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

   3. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   Como resultado de: $5 x^{4} + 16 x^{3} + 3 x^{2} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 7$

2. Simplificamos:

   $5 x^{4} + 16 x^{3} + 3 x^{2} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 8$

Respuesta:

$5 x^{4} + 16 x^{3} + 3 x^{2} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 8$