Derivada de y=e^x^2*sin(x/2)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = e^{x^{2}}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x^{2}$.

   2. Derivado $e^{u}$ es.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} x^{2}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 x e^{x^{2}}$

   $g{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \frac{x}{2}$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $\frac{1}{2}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

   Como resultado de: $2 x e^{x^{2}} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{e^{x^{2}} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(4 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{x^{2}}}{2}$

Respuesta:

$\frac{\left(4 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{x^{2}}}{2}$