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Derivada de la función/ ctg^2/ 2^(ctg^2)x

Derivada de 2^(ctg^2)x

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
    2     
 cot (x)  
2       *x
2cot⁡2(x)x2^{\cot^{2}{\left(x \right)}} x 
2^(cot(x)^2)*x
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

    f(x)=2cot⁡2(x)f{\left(x \right)} = 2^{\cot^{2}{\left(x \right)}}; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=cot⁡2(x)u = \cot^{2}{\left(x \right)}.

    2. ddu2u=2ulog⁡(2)\frac{d}{d u} 2^{u} = 2^{u} \log{\left(2 \right)}

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcot⁡2(x)\frac{d}{d x} \cot^{2}{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

      2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcot⁡(x)\frac{d}{d x} \cot{\left(x \right)}:

        1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

          Method #1

          1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            cot⁡(x)=1tan⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}

          2. Sustituimos u=tan⁡(x)u = \tan{\left(x \right)}.

          3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos −1u2- \frac{1}{u^{2}}

          4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}:

            1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

              tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

            2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

              ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

              f(x)=sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y g(x)=cos⁡(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

              Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

              1. La derivada del seno es igual al coseno:

                ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

              Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

              1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

              Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

              sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            −sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

          Method #2

          1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            cot⁡(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

          2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

            f(x)=cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} y g(x)=sin⁡(x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

            Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

            1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

              ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

            Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

            1. La derivada del seno es igual al coseno:

              ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            −sin⁡2(x)−cos⁡2(x)sin⁡2(x)\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        −2(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))cot⁡(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)- \frac{2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cot{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      −2⋅2cot⁡2(x)(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))log⁡(2)cot⁡(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)- \frac{2 \cdot 2^{\cot^{2}{\left(x \right)}} \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \log{\left(2 \right)} \cot{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

    g(x)=xg{\left(x \right)} = x; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

    Como resultado de: −2⋅2cot⁡2(x)x(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))log⁡(2)cot⁡(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)+2cot⁡2(x)- \frac{2 \cdot 2^{\cot^{2}{\left(x \right)}} x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \log{\left(2 \right)} \cot{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + 2^{\cot^{2}{\left(x \right)}}

  2. Simplificamos:

    21tan⁡2(x)(−2xlog⁡(2)cos⁡(x)sin⁡3(x)+1)2^{\frac{1}{\tan^{2}{\left(x \right)}}} \left(- \frac{2 x \log{\left(2 \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} + 1\right)

Respuesta:

21tan⁡2(x)(−2xlog⁡(2)cos⁡(x)sin⁡3(x)+1)2^{\frac{1}{\tan^{2}{\left(x \right)}}} \left(- \frac{2 x \log{\left(2 \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} + 1\right)

Primera derivada [src] 
    2            2                                  
 cot (x)      cot (x) /          2   \              
2        + x*2       *\-2 - 2*cot (x)/*cot(x)*log(2)
2cot⁡2(x)x(−2cot⁡2(x)−2)log⁡(2)cot⁡(x)+2cot⁡2(x)2^{\cot^{2}{\left(x \right)}} x \left(- 2 \cot^{2}{\left(x \right)} - 2\right) \log{\left(2 \right)} \cot{\left(x \right)} + 2^{\cot^{2}{\left(x \right)}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
      2                                                                                         
   cot (x) /       2   \ /              /         2           2    /       2   \       \\       
2*2       *\1 + cot (x)/*\-2*cot(x) + x*\1 + 3*cot (x) + 2*cot (x)*\1 + cot (x)/*log(2)//*log(2)
2⋅2cot⁡2(x)(x(2(cot⁡2(x)+1)log⁡(2)cot⁡2(x)+3cot⁡2(x)+1)−2cot⁡(x))(cot⁡2(x)+1)log⁡(2)2 \cdot 2^{\cot^{2}{\left(x \right)}} \left(x \left(2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(2 \right)} \cot^{2}{\left(x \right)} + 3 \cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) - 2 \cot{\left(x \right)}\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(2 \right)}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
      2                  /                    /                               2                         2                                                 \                                        \       
   cot (x) /       2   \ |         2          |         2        /       2   \             /       2   \     2       2           2    /       2   \       |               2    /       2   \       |       
2*2       *\1 + cot (x)/*\3 + 9*cot (x) - 2*x*\4 + 6*cot (x) + 3*\1 + cot (x)/ *log(2) + 2*\1 + cot (x)/ *cot (x)*log (2) + 6*cot (x)*\1 + cot (x)/*log(2)/*cot(x) + 6*cot (x)*\1 + cot (x)/*log(2)/*log(2)
2⋅2cot⁡2(x)(cot⁡2(x)+1)(−2x(2(cot⁡2(x)+1)2log⁡(2)2cot⁡2(x)+3(cot⁡2(x)+1)2log⁡(2)+6(cot⁡2(x)+1)log⁡(2)cot⁡2(x)+6cot⁡2(x)+4)cot⁡(x)+6(cot⁡2(x)+1)log⁡(2)cot⁡2(x)+9cot⁡2(x)+3)log⁡(2)2 \cdot 2^{\cot^{2}{\left(x \right)}} \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(- 2 x \left(2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \log{\left(2 \right)}^{2} \cot^{2}{\left(x \right)} + 3 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \log{\left(2 \right)} + 6 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(2 \right)} \cot^{2}{\left(x \right)} + 6 \cot^{2}{\left(x \right)} + 4\right) \cot{\left(x \right)} + 6 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(2 \right)} \cot^{2}{\left(x \right)} + 9 \cot^{2}{\left(x \right)} + 3\right) \log{\left(2 \right)}
Simplificar
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