Derivada de x*exp(-x)-x*cosx+cosx+sinx

1. diferenciamos $\left(\left(- x \cos{\left(x \right)} + x e^{- x}\right) + \cos{\left(x \right)}\right) + \sin{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $\left(- x \cos{\left(x \right)} + x e^{- x}\right) + \cos{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

      1. diferenciamos $- x \cos{\left(x \right)} + x e^{- x}$ miembro por miembro:

         1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = x$ y $g{\left(x \right)} = e^{x}$.

            Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Derivado $e^{x}$ es.

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            $\left(- x e^{x} + e^{x}\right) e^{- 2 x}$

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

               $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

               $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

               1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                  $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

               Como resultado de: $- x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

            Entonces, como resultado: $x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$

         Como resultado de: $x \sin{\left(x \right)} + \left(- x e^{x} + e^{x}\right) e^{- 2 x} - \cos{\left(x \right)}$

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Como resultado de: $x \sin{\left(x \right)} + \left(- x e^{x} + e^{x}\right) e^{- 2 x} - \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

   Como resultado de: $x \sin{\left(x \right)} + \left(- x e^{x} + e^{x}\right) e^{- 2 x} - \sin{\left(x \right)}$

2. Simplificamos:

   $\left(- x + \left(x - 1\right) e^{x} \sin{\left(x \right)} + 1\right) e^{- x}$

Respuesta:

$\left(- x + \left(x - 1\right) e^{x} \sin{\left(x \right)} + 1\right) e^{- x}$