Derivada de x=(z^2-2z^2+5z+1)/(z^4)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d z} \frac{f{\left(z \right)}}{g{\left(z \right)}} = \frac{- f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}}{g^{2}{\left(z \right)}}$

   $f{\left(z \right)} = - z^{2} + 5 z + 1$ y $g{\left(z \right)} = z^{4}$.

   Para calcular $\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}$:

   1. diferenciamos $- z^{2} + 5 z + 1$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $z^{2}$ tenemos $2 z$

         Entonces, como resultado: $- 2 z$

      3. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $z$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $5$

      Como resultado de: $5 - 2 z$

   Para calcular $\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $z^{4}$ tenemos $4 z^{3}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{z^{4} \left(5 - 2 z\right) - 4 z^{3} \left(- z^{2} + 5 z + 1\right)}{z^{8}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{2 z^{2} - 15 z - 4}{z^{5}}$

Respuesta:

$\frac{2 z^{2} - 15 z - 4}{z^{5}}$