Derivada de x*exp(-x)(x^2-4x+1)/(x-4)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x \left(x^{2} - 4 x + 1\right)$ y $g{\left(x \right)} = \left(x - 4\right) e^{x}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = x^{2} - 4 x + 1$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $x^{2} - 4 x + 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

         3. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $-4$

         Como resultado de: $2 x - 4$

      Como resultado de: $x^{2} + x \left(2 x - 4\right) - 4 x + 1$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x - 4$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $x - 4$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $-4$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Como resultado de: $1$

      $g{\left(x \right)} = e^{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Derivado $e^{x}$ es.

      Como resultado de: $\left(x - 4\right) e^{x} + e^{x}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{\left(- x \left(\left(x - 4\right) e^{x} + e^{x}\right) \left(x^{2} - 4 x + 1\right) + \left(x - 4\right) \left(x^{2} + x \left(2 x - 4\right) - 4 x + 1\right) e^{x}\right) e^{- 2 x}}{\left(x - 4\right)^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(- x^{4} + 10 x^{3} - 33 x^{2} + 36 x - 4\right) e^{- x}}{x^{2} - 8 x + 16}$

Respuesta:

$\frac{\left(- x^{4} + 10 x^{3} - 33 x^{2} + 36 x - 4\right) e^{- x}}{x^{2} - 8 x + 16}$