Derivada de y=(1-3x-x^3)∙log8⁡x

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = - x^{3} + \left(1 - 3 x\right)$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $- x^{3} + \left(1 - 3 x\right)$ miembro por miembro:

      1. diferenciamos $1 - 3 x$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $-3$

         Como resultado de: $-3$

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

         Entonces, como resultado: $- 3 x^{2}$

      Como resultado de: $- 3 x^{2} - 3$

   $g{\left(x \right)} = \log{\left(8 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 8 x$.

   2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 8 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $8$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{1}{x}$

   Como resultado de: $\left(- 3 x^{2} - 3\right) \log{\left(8 x \right)} + \frac{- x^{3} + \left(1 - 3 x\right)}{x}$

2. Simplificamos:

   $\frac{- x^{3} - 3 x \left(x^{2} + 1\right) \log{\left(8 x \right)} - 3 x + 1}{x}$

Respuesta:

$\frac{- x^{3} - 3 x \left(x^{2} + 1\right) \log{\left(8 x \right)} - 3 x + 1}{x}$