Derivada de (z^4+1)^2/((1-az)(z-a))

Ha introducido [src]

            2    
    / 4    \     
    \z  + 1/     
-----------------
(1 - a*z)*(z - a)

\frac{\left(z^{4} + 1\right)^{2}}{\left(- a + z\right) \left(- a z + 1\right)}

(z^4 + 1)^2/(((1 - a*z)*(z - a)))

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d z} \frac{f{\left(z \right)}}{g{\left(z \right)}} = \frac{- f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}}{g^{2}{\left(z \right)}}$

$f{\left(z \right)} = \left(z^{4} + 1\right)^{2}$ y $g{\left(z \right)} = \left(- a + z\right) \left(- a z + 1\right)$ .

Para calcular $\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}$ :
1. Sustituimos $u = z^{4} + 1$ .
2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d z} \left(z^{4} + 1\right)$ :
  1. diferenciamos $z^{4} + 1$ miembro por miembro:
    1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.
    2. Según el principio, aplicamos: $z^{4}$ tenemos $4 z^{3}$
    Como resultado de: $4 z^{3}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $4 z^{3} \left(2 z^{4} + 2\right)$
Para calcular $\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}$ :
1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
  
  $\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} g{\left(z \right)} = f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}$
  
  $f{\left(z \right)} = - a z + 1$ ; calculamos $\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}$ :
  1. diferenciamos $- a z + 1$ miembro por miembro:
    1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.
    2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      1. Según el principio, aplicamos: $z$ tenemos $1$
      Entonces, como resultado: $- a$
    Como resultado de: $- a$
  $g{\left(z \right)} = - a + z$ ; calculamos $\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}$ :
  1. diferenciamos $- a + z$ miembro por miembro:
    1. Según el principio, aplicamos: $z$ tenemos $1$
    2. La derivada de una constante $- a$ es igual a cero.
    Como resultado de: $1$
  Como resultado de: $- a z - a \left(- a + z\right) + 1$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{4 z^{3} \left(- a + z\right) \left(2 z^{4} + 2\right) \left(- a z + 1\right) - \left(z^{4} + 1\right)^{2} \left(- a z - a \left(- a + z\right) + 1\right)}{\left(- a + z\right)^{2} \left(- a z + 1\right)^{2}}$
Simplificamos:

$\frac{\left(z^{4} + 1\right) \left(8 z^{3} \left(a - z\right) \left(a z - 1\right) + \left(z^{4} + 1\right) \left(a z - a \left(a - z\right) - 1\right)\right)}{\left(a - z\right)^{2} \left(a z - 1\right)^{2}}$

Respuesta:

$\frac{\left(z^{4} + 1\right) \left(8 z^{3} \left(a - z\right) \left(a z - 1\right) + \left(z^{4} + 1\right) \left(a z - a \left(a - z\right) - 1\right)\right)}{\left(a - z\right)^{2} \left(a z - 1\right)^{2}}$

Primera derivada [src]

                                          2                       
                                  / 4    \                        
   3         1         / 4    \   \z  + 1/ *(-1 + a*z + a*(z - a))
8*z *-----------------*\z  + 1/ + --------------------------------
     (1 - a*z)*(z - a)                           2        2       
                                        (1 - a*z) *(z - a)

8 z^{3} \frac{1}{\left(- a + z\right) \left(- a z + 1\right)} \left(z^{4} + 1\right) + \frac{\left(z^{4} + 1\right)^{2} \left(a z + a \left(- a + z\right) - 1\right)}{\left(- a + z\right)^{2} \left(- a z + 1\right)^{2}}

Simplificar

Segunda derivada [src]

                          2                                                                                                                                          
                  /     4\  /      /    1        a    \                         1 + a*(a - z) - a*z   a*(1 + a*(a - z) - a*z)\                                       
                  \1 + z / *|2*a + |- ----- + --------|*(1 + a*(a - z) - a*z) - ------------------- + -----------------------|       3 /     4\                      
   2 /       4\             \      \  a - z   -1 + a*z/                                a - z                  -1 + a*z       /   16*z *\1 + z /*(1 + a*(a - z) - a*z)
8*z *\3 + 7*z / + ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ - ------------------------------------
                                                               (-1 + a*z)*(a - z)                                                         (-1 + a*z)*(a - z)         
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                          (-1 + a*z)*(a - z)

\frac{- \frac{16 z^{3} \left(z^{4} + 1\right) \left(- a z + a \left(a - z\right) + 1\right)}{\left(a - z\right) \left(a z - 1\right)} + 8 z^{2} \left(7 z^{4} + 3\right) + \frac{\left(z^{4} + 1\right)^{2} \left(2 a + \frac{a \left(- a z + a \left(a - z\right) + 1\right)}{a z - 1} + \left(\frac{a}{a z - 1} - \frac{1}{a - z}\right) \left(- a z + a \left(a - z\right) + 1\right) - \frac{- a z + a \left(a - z\right) + 1}{a - z}\right)}{\left(a - z\right) \left(a z - 1\right)}}{\left(a - z\right) \left(a z - 1\right)}

Simplificar

3-я производная [src]

                            /                                                                                                                                                  /    1        a    \                                                        /    1        a    \                                                  \                                                                                                                                                             
                          2 |                                                             /                 2                         \                                  2     |- ----- + --------|*(1 + a*(a - z) - a*z)      2                         a*|- ----- + --------|*(1 + a*(a - z) - a*z)                            |                                                                                                                                                             
                  /     4\  |   6*a        /    1        a    \                           |   1            a                a         |   3*(1 + a*(a - z) - a*z)     6*a      \  a - z   -1 + a*z/                         3*a *(1 + a*(a - z) - a*z)     \  a - z   -1 + a*z/                         4*a*(1 + a*(a - z) - a*z)|                                                                                                                                                             
                  \1 + z / *|- ----- + 2*a*|- ----- + --------| + 2*(1 + a*(a - z) - a*z)*|-------- + ----------- - ------------------| + ----------------------- + -------- - ------------------------------------------ + -------------------------- + -------------------------------------------- - -------------------------|                                                3 /     4\ /      /    1        a    \                         1 + a*(a - z) - a*z   a*(1 + a*(a - z) - a*z)\
                            |  a - z       \  a - z   -1 + a*z/                           |       2             2   (-1 + a*z)*(a - z)|                  2          -1 + a*z                     a - z                                       2                             -1 + a*z                         (-1 + a*z)*(a - z)   |       2 /       4\                         24*z *\1 + z /*|2*a + |- ----- + --------|*(1 + a*(a - z) - a*z) - ------------------- + -----------------------|
     /       4\             \                                                             \(a - z)    (-1 + a*z)                      /           (a - z)                                                                          (-1 + a*z)                                                                                    /   24*z *\3 + 7*z /*(1 + a*(a - z) - a*z)                  \      \  a - z   -1 + a*z/                                a - z                  -1 + a*z       /
48*z*\1 + 7*z / - ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - -------------------------------------- + -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                                 (-1 + a*z)*(a - z)                                                                                                                                                            (-1 + a*z)*(a - z)                                                             (-1 + a*z)*(a - z)                                               
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                                                                                                       (-1 + a*z)*(a - z)

\frac{\frac{24 z^{3} \left(z^{4} + 1\right) \left(2 a + \frac{a \left(- a z + a \left(a - z\right) + 1\right)}{a z - 1} + \left(\frac{a}{a z - 1} - \frac{1}{a - z}\right) \left(- a z + a \left(a - z\right) + 1\right) - \frac{- a z + a \left(a - z\right) + 1}{a - z}\right)}{\left(a - z\right) \left(a z - 1\right)} - \frac{24 z^{2} \left(7 z^{4} + 3\right) \left(- a z + a \left(a - z\right) + 1\right)}{\left(a - z\right) \left(a z - 1\right)} + 48 z \left(7 z^{4} + 1\right) - \frac{\left(z^{4} + 1\right)^{2} \left(\frac{6 a^{2}}{a z - 1} + \frac{3 a^{2} \left(- a z + a \left(a - z\right) + 1\right)}{\left(a z - 1\right)^{2}} + 2 a \left(\frac{a}{a z - 1} - \frac{1}{a - z}\right) + \frac{a \left(\frac{a}{a z - 1} - \frac{1}{a - z}\right) \left(- a z + a \left(a - z\right) + 1\right)}{a z - 1} - \frac{6 a}{a - z} - \frac{4 a \left(- a z + a \left(a - z\right) + 1\right)}{\left(a - z\right) \left(a z - 1\right)} + 2 \left(- a z + a \left(a - z\right) + 1\right) \left(\frac{a^{2}}{\left(a z - 1\right)^{2}} - \frac{a}{\left(a - z\right) \left(a z - 1\right)} + \frac{1}{\left(a - z\right)^{2}}\right) - \frac{\left(\frac{a}{a z - 1} - \frac{1}{a - z}\right) \left(- a z + a \left(a - z\right) + 1\right)}{a - z} + \frac{3 \left(- a z + a \left(a - z\right) + 1\right)}{\left(a - z\right)^{2}}\right)}{\left(a - z\right) \left(a z - 1\right)}}{\left(a - z\right) \left(a z - 1\right)}

Simplificar

Tercera derivada [src]

                            /                                                                                                                                                  /    1        a    \                                                        /    1        a    \                                                  \                                                                                                                                                             
                          2 |                                                             /                 2                         \                                  2     |- ----- + --------|*(1 + a*(a - z) - a*z)      2                         a*|- ----- + --------|*(1 + a*(a - z) - a*z)                            |                                                                                                                                                             
                  /     4\  |   6*a        /    1        a    \                           |   1            a                a         |   3*(1 + a*(a - z) - a*z)     6*a      \  a - z   -1 + a*z/                         3*a *(1 + a*(a - z) - a*z)     \  a - z   -1 + a*z/                         4*a*(1 + a*(a - z) - a*z)|                                                                                                                                                             
                  \1 + z / *|- ----- + 2*a*|- ----- + --------| + 2*(1 + a*(a - z) - a*z)*|-------- + ----------- - ------------------| + ----------------------- + -------- - ------------------------------------------ + -------------------------- + -------------------------------------------- - -------------------------|                                                3 /     4\ /      /    1        a    \                         1 + a*(a - z) - a*z   a*(1 + a*(a - z) - a*z)\
                            |  a - z       \  a - z   -1 + a*z/                           |       2             2   (-1 + a*z)*(a - z)|                  2          -1 + a*z                     a - z                                       2                             -1 + a*z                         (-1 + a*z)*(a - z)   |       2 /       4\                         24*z *\1 + z /*|2*a + |- ----- + --------|*(1 + a*(a - z) - a*z) - ------------------- + -----------------------|
     /       4\             \                                                             \(a - z)    (-1 + a*z)                      /           (a - z)                                                                          (-1 + a*z)                                                                                    /   24*z *\3 + 7*z /*(1 + a*(a - z) - a*z)                  \      \  a - z   -1 + a*z/                                a - z                  -1 + a*z       /
48*z*\1 + 7*z / - ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - -------------------------------------- + -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                                 (-1 + a*z)*(a - z)                                                                                                                                                            (-1 + a*z)*(a - z)                                                             (-1 + a*z)*(a - z)                                               
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                                                                                                       (-1 + a*z)*(a - z)

\frac{\frac{24 z^{3} \left(z^{4} + 1\right) \left(2 a + \frac{a \left(- a z + a \left(a - z\right) + 1\right)}{a z - 1} + \left(\frac{a}{a z - 1} - \frac{1}{a - z}\right) \left(- a z + a \left(a - z\right) + 1\right) - \frac{- a z + a \left(a - z\right) + 1}{a - z}\right)}{\left(a - z\right) \left(a z - 1\right)} - \frac{24 z^{2} \left(7 z^{4} + 3\right) \left(- a z + a \left(a - z\right) + 1\right)}{\left(a - z\right) \left(a z - 1\right)} + 48 z \left(7 z^{4} + 1\right) - \frac{\left(z^{4} + 1\right)^{2} \left(\frac{6 a^{2}}{a z - 1} + \frac{3 a^{2} \left(- a z + a \left(a - z\right) + 1\right)}{\left(a z - 1\right)^{2}} + 2 a \left(\frac{a}{a z - 1} - \frac{1}{a - z}\right) + \frac{a \left(\frac{a}{a z - 1} - \frac{1}{a - z}\right) \left(- a z + a \left(a - z\right) + 1\right)}{a z - 1} - \frac{6 a}{a - z} - \frac{4 a \left(- a z + a \left(a - z\right) + 1\right)}{\left(a - z\right) \left(a z - 1\right)} + 2 \left(- a z + a \left(a - z\right) + 1\right) \left(\frac{a^{2}}{\left(a z - 1\right)^{2}} - \frac{a}{\left(a - z\right) \left(a z - 1\right)} + \frac{1}{\left(a - z\right)^{2}}\right) - \frac{\left(\frac{a}{a z - 1} - \frac{1}{a - z}\right) \left(- a z + a \left(a - z\right) + 1\right)}{a - z} + \frac{3 \left(- a z + a \left(a - z\right) + 1\right)}{\left(a - z\right)^{2}}\right)}{\left(a - z\right) \left(a z - 1\right)}}{\left(a - z\right) \left(a z - 1\right)}

Simplificar

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Derivada de (z^4+1)^2/((1-az)(z-a))

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución