Sr Examen

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y=log3(ctg^7*(2x-1))
Derivada de la función/ y=log/ (2x-1)/ y=log3(ctg^7*(2x-1))

Derivada de y=log3(ctg^7*(2x-1))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   /   7         \
log\cot (2*x - 1)/
------------------
      log(3)
log⁡(cot⁡7(2x−1))log⁡(3)\frac{\log{\left(\cot^{7}{\left(2 x - 1 \right)} \right)}}{\log{\left(3 \right)}} 
log(cot(2*x - 1)^7)/log(3)
Solución detallada

  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

    1. Sustituimos u=cot⁡7(2x−1)u = \cot^{7}{\left(2 x - 1 \right)}.

    2. Derivado log⁡(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcot⁡7(2x−1)\frac{d}{d x} \cot^{7}{\left(2 x - 1 \right)}:

      1. Sustituimos u=cot⁡(2x−1)u = \cot{\left(2 x - 1 \right)}.

      2. Según el principio, aplicamos: u7u^{7} tenemos 7u67 u^{6}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcot⁡(2x−1)\frac{d}{d x} \cot{\left(2 x - 1 \right)}:

        1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

          Method #1

          1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            cot⁡(2x−1)=1tan⁡(2x−1)\cot{\left(2 x - 1 \right)} = \frac{1}{\tan{\left(2 x - 1 \right)}}

          2. Sustituimos u=tan⁡(2x−1)u = \tan{\left(2 x - 1 \right)}.

          3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos −1u2- \frac{1}{u^{2}}

          4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(2x−1)\frac{d}{d x} \tan{\left(2 x - 1 \right)}:

            1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

              tan⁡(2x−1)=sin⁡(2x−1)cos⁡(2x−1)\tan{\left(2 x - 1 \right)} = \frac{\sin{\left(2 x - 1 \right)}}{\cos{\left(2 x - 1 \right)}}

            2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

              ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

              f(x)=sin⁡(2x−1)f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x - 1 \right)} y g(x)=cos⁡(2x−1)g{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x - 1 \right)}.

              Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

              1. Sustituimos u=2x−1u = 2 x - 1.

              2. La derivada del seno es igual al coseno:

                ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

              3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(2x−1)\frac{d}{d x} \left(2 x - 1\right):

                1. diferenciamos 2x−12 x - 1 miembro por miembro:

                  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                    1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

                    Entonces, como resultado: 22

                  2. La derivada de una constante −1-1 es igual a cero.

                  Como resultado de: 22

                Como resultado de la secuencia de reglas:

                2cos⁡(2x−1)2 \cos{\left(2 x - 1 \right)}

              Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

              1. Sustituimos u=2x−1u = 2 x - 1.

              2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

              3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(2x−1)\frac{d}{d x} \left(2 x - 1\right):

                1. diferenciamos 2x−12 x - 1 miembro por miembro:

                  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                    1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

                    Entonces, como resultado: 22

                  2. La derivada de una constante −1-1 es igual a cero.

                  Como resultado de: 22

                Como resultado de la secuencia de reglas:

                −2sin⁡(2x−1)- 2 \sin{\left(2 x - 1 \right)}

              Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

              2sin⁡2(2x−1)+2cos⁡2(2x−1)cos⁡2(2x−1)\frac{2 \sin^{2}{\left(2 x - 1 \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)}}

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            −2sin⁡2(2x−1)+2cos⁡2(2x−1)cos⁡2(2x−1)tan⁡2(2x−1)- \frac{2 \sin^{2}{\left(2 x - 1 \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)} \tan^{2}{\left(2 x - 1 \right)}}

          Method #2

          1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            cot⁡(2x−1)=cos⁡(2x−1)sin⁡(2x−1)\cot{\left(2 x - 1 \right)} = \frac{\cos{\left(2 x - 1 \right)}}{\sin{\left(2 x - 1 \right)}}

          2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

            f(x)=cos⁡(2x−1)f{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x - 1 \right)} y g(x)=sin⁡(2x−1)g{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x - 1 \right)}.

            Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

            1. Sustituimos u=2x−1u = 2 x - 1.

            2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

              dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(2x−1)\frac{d}{d x} \left(2 x - 1\right):

              1. diferenciamos 2x−12 x - 1 miembro por miembro:

                1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

                  Entonces, como resultado: 22

                2. La derivada de una constante −1-1 es igual a cero.

                Como resultado de: 22

              Como resultado de la secuencia de reglas:

              −2sin⁡(2x−1)- 2 \sin{\left(2 x - 1 \right)}

            Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

            1. Sustituimos u=2x−1u = 2 x - 1.

            2. La derivada del seno es igual al coseno:

              ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(2x−1)\frac{d}{d x} \left(2 x - 1\right):

              1. diferenciamos 2x−12 x - 1 miembro por miembro:

                1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

                  Entonces, como resultado: 22

                2. La derivada de una constante −1-1 es igual a cero.

                Como resultado de: 22

              Como resultado de la secuencia de reglas:

              2cos⁡(2x−1)2 \cos{\left(2 x - 1 \right)}

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            −2sin⁡2(2x−1)−2cos⁡2(2x−1)sin⁡2(2x−1)\frac{- 2 \sin^{2}{\left(2 x - 1 \right)} - 2 \cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)}}{\sin^{2}{\left(2 x - 1 \right)}}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        −7(2sin⁡2(2x−1)+2cos⁡2(2x−1))cot⁡6(2x−1)cos⁡2(2x−1)tan⁡2(2x−1)- \frac{7 \left(2 \sin^{2}{\left(2 x - 1 \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)}\right) \cot^{6}{\left(2 x - 1 \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)} \tan^{2}{\left(2 x - 1 \right)}}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      −7(2sin⁡2(2x−1)+2cos⁡2(2x−1))cos⁡2(2x−1)tan⁡2(2x−1)cot⁡(2x−1)- \frac{7 \left(2 \sin^{2}{\left(2 x - 1 \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)} \tan^{2}{\left(2 x - 1 \right)} \cot{\left(2 x - 1 \right)}}

    Entonces, como resultado: −7(2sin⁡2(2x−1)+2cos⁡2(2x−1))log⁡(3)cos⁡2(2x−1)tan⁡2(2x−1)cot⁡(2x−1)- \frac{7 \left(2 \sin^{2}{\left(2 x - 1 \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)}\right)}{\log{\left(3 \right)} \cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)} \tan^{2}{\left(2 x - 1 \right)} \cot{\left(2 x - 1 \right)}}

  2. Simplificamos:

    −14log⁡(3)cos⁡2(2x−1)tan⁡(2x−1)- \frac{14}{\log{\left(3 \right)} \cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)} \tan{\left(2 x - 1 \right)}}

Respuesta:

−14log⁡(3)cos⁡2(2x−1)tan⁡(2x−1)- \frac{14}{\log{\left(3 \right)} \cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)} \tan{\left(2 x - 1 \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-50005000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
            2         
-14 - 14*cot (2*x - 1)
----------------------
 cot(2*x - 1)*log(3)
−14cot⁡2(2x−1)−14log⁡(3)cot⁡(2x−1)\frac{- 14 \cot^{2}{\left(2 x - 1 \right)} - 14}{\log{\left(3 \right)} \cot{\left(2 x - 1 \right)}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
   /                                           2\
   |                       /       2          \ |
   |         2             \1 + cot (-1 + 2*x)/ |
28*|2 + 2*cot (-1 + 2*x) - ---------------------|
   |                              2             |
   \                           cot (-1 + 2*x)   /
-------------------------------------------------
                      log(3)
28(−(cot⁡2(2x−1)+1)2cot⁡2(2x−1)+2cot⁡2(2x−1)+2)log⁡(3)\frac{28 \left(- \frac{\left(\cot^{2}{\left(2 x - 1 \right)} + 1\right)^{2}}{\cot^{2}{\left(2 x - 1 \right)}} + 2 \cot^{2}{\left(2 x - 1 \right)} + 2\right)}{\log{\left(3 \right)}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                          /                                      2                         \
                          |                  /       2          \      /       2          \|
     /       2          \ |                  \1 + cot (-1 + 2*x)/    2*\1 + cot (-1 + 2*x)/|
-112*\1 + cot (-1 + 2*x)/*|2*cot(-1 + 2*x) + --------------------- - ----------------------|
                          |                         3                    cot(-1 + 2*x)     |
                          \                      cot (-1 + 2*x)                            /
--------------------------------------------------------------------------------------------
                                           log(3)
−112(cot⁡2(2x−1)+1)((cot⁡2(2x−1)+1)2cot⁡3(2x−1)−2(cot⁡2(2x−1)+1)cot⁡(2x−1)+2cot⁡(2x−1))log⁡(3)- \frac{112 \left(\cot^{2}{\left(2 x - 1 \right)} + 1\right) \left(\frac{\left(\cot^{2}{\left(2 x - 1 \right)} + 1\right)^{2}}{\cot^{3}{\left(2 x - 1 \right)}} - \frac{2 \left(\cot^{2}{\left(2 x - 1 \right)} + 1\right)}{\cot{\left(2 x - 1 \right)}} + 2 \cot{\left(2 x - 1 \right)}\right)}{\log{\left(3 \right)}}
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=log3(ctg^7*(2x-1))
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