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y=log3(ctg^7*(2x-1))

Derivada de y=log3(ctg^7*(2x-1))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
   /   7         \
log\cot (2*x - 1)/
------------------
      log(3)      
log(cot7(2x1))log(3)\frac{\log{\left(\cot^{7}{\left(2 x - 1 \right)} \right)}}{\log{\left(3 \right)}}
log(cot(2*x - 1)^7)/log(3)
Solución detallada
  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

    1. Sustituimos u=cot7(2x1)u = \cot^{7}{\left(2 x - 1 \right)}.

    2. Derivado log(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcot7(2x1)\frac{d}{d x} \cot^{7}{\left(2 x - 1 \right)}:

      1. Sustituimos u=cot(2x1)u = \cot{\left(2 x - 1 \right)}.

      2. Según el principio, aplicamos: u7u^{7} tenemos 7u67 u^{6}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcot(2x1)\frac{d}{d x} \cot{\left(2 x - 1 \right)}:

        1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

          Method #1

          1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            cot(2x1)=1tan(2x1)\cot{\left(2 x - 1 \right)} = \frac{1}{\tan{\left(2 x - 1 \right)}}

          2. Sustituimos u=tan(2x1)u = \tan{\left(2 x - 1 \right)}.

          3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos 1u2- \frac{1}{u^{2}}

          4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan(2x1)\frac{d}{d x} \tan{\left(2 x - 1 \right)}:

            1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

              tan(2x1)=sin(2x1)cos(2x1)\tan{\left(2 x - 1 \right)} = \frac{\sin{\left(2 x - 1 \right)}}{\cos{\left(2 x - 1 \right)}}

            2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

              ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

              f(x)=sin(2x1)f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x - 1 \right)} y g(x)=cos(2x1)g{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x - 1 \right)}.

              Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

              1. Sustituimos u=2x1u = 2 x - 1.

              2. La derivada del seno es igual al coseno:

                ddusin(u)=cos(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

              3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(2x1)\frac{d}{d x} \left(2 x - 1\right):

                1. diferenciamos 2x12 x - 1 miembro por miembro:

                  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                    1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

                    Entonces, como resultado: 22

                  2. La derivada de una constante 1-1 es igual a cero.

                  Como resultado de: 22

                Como resultado de la secuencia de reglas:

                2cos(2x1)2 \cos{\left(2 x - 1 \right)}

              Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

              1. Sustituimos u=2x1u = 2 x - 1.

              2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                dducos(u)=sin(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

              3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(2x1)\frac{d}{d x} \left(2 x - 1\right):

                1. diferenciamos 2x12 x - 1 miembro por miembro:

                  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                    1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

                    Entonces, como resultado: 22

                  2. La derivada de una constante 1-1 es igual a cero.

                  Como resultado de: 22

                Como resultado de la secuencia de reglas:

                2sin(2x1)- 2 \sin{\left(2 x - 1 \right)}

              Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

              2sin2(2x1)+2cos2(2x1)cos2(2x1)\frac{2 \sin^{2}{\left(2 x - 1 \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)}}

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            2sin2(2x1)+2cos2(2x1)cos2(2x1)tan2(2x1)- \frac{2 \sin^{2}{\left(2 x - 1 \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)} \tan^{2}{\left(2 x - 1 \right)}}

          Method #2

          1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            cot(2x1)=cos(2x1)sin(2x1)\cot{\left(2 x - 1 \right)} = \frac{\cos{\left(2 x - 1 \right)}}{\sin{\left(2 x - 1 \right)}}

          2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

            f(x)=cos(2x1)f{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x - 1 \right)} y g(x)=sin(2x1)g{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x - 1 \right)}.

            Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

            1. Sustituimos u=2x1u = 2 x - 1.

            2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

              dducos(u)=sin(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(2x1)\frac{d}{d x} \left(2 x - 1\right):

              1. diferenciamos 2x12 x - 1 miembro por miembro:

                1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

                  Entonces, como resultado: 22

                2. La derivada de una constante 1-1 es igual a cero.

                Como resultado de: 22

              Como resultado de la secuencia de reglas:

              2sin(2x1)- 2 \sin{\left(2 x - 1 \right)}

            Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

            1. Sustituimos u=2x1u = 2 x - 1.

            2. La derivada del seno es igual al coseno:

              ddusin(u)=cos(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(2x1)\frac{d}{d x} \left(2 x - 1\right):

              1. diferenciamos 2x12 x - 1 miembro por miembro:

                1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

                  Entonces, como resultado: 22

                2. La derivada de una constante 1-1 es igual a cero.

                Como resultado de: 22

              Como resultado de la secuencia de reglas:

              2cos(2x1)2 \cos{\left(2 x - 1 \right)}

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            2sin2(2x1)2cos2(2x1)sin2(2x1)\frac{- 2 \sin^{2}{\left(2 x - 1 \right)} - 2 \cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)}}{\sin^{2}{\left(2 x - 1 \right)}}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        7(2sin2(2x1)+2cos2(2x1))cot6(2x1)cos2(2x1)tan2(2x1)- \frac{7 \left(2 \sin^{2}{\left(2 x - 1 \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)}\right) \cot^{6}{\left(2 x - 1 \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)} \tan^{2}{\left(2 x - 1 \right)}}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      7(2sin2(2x1)+2cos2(2x1))cos2(2x1)tan2(2x1)cot(2x1)- \frac{7 \left(2 \sin^{2}{\left(2 x - 1 \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)} \tan^{2}{\left(2 x - 1 \right)} \cot{\left(2 x - 1 \right)}}

    Entonces, como resultado: 7(2sin2(2x1)+2cos2(2x1))log(3)cos2(2x1)tan2(2x1)cot(2x1)- \frac{7 \left(2 \sin^{2}{\left(2 x - 1 \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)}\right)}{\log{\left(3 \right)} \cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)} \tan^{2}{\left(2 x - 1 \right)} \cot{\left(2 x - 1 \right)}}

  2. Simplificamos:

    14log(3)cos2(2x1)tan(2x1)- \frac{14}{\log{\left(3 \right)} \cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)} \tan{\left(2 x - 1 \right)}}


Respuesta:

14log(3)cos2(2x1)tan(2x1)- \frac{14}{\log{\left(3 \right)} \cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)} \tan{\left(2 x - 1 \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-50005000
Primera derivada [src]
            2         
-14 - 14*cot (2*x - 1)
----------------------
 cot(2*x - 1)*log(3)  
14cot2(2x1)14log(3)cot(2x1)\frac{- 14 \cot^{2}{\left(2 x - 1 \right)} - 14}{\log{\left(3 \right)} \cot{\left(2 x - 1 \right)}}
Segunda derivada [src]
   /                                           2\
   |                       /       2          \ |
   |         2             \1 + cot (-1 + 2*x)/ |
28*|2 + 2*cot (-1 + 2*x) - ---------------------|
   |                              2             |
   \                           cot (-1 + 2*x)   /
-------------------------------------------------
                      log(3)                     
28((cot2(2x1)+1)2cot2(2x1)+2cot2(2x1)+2)log(3)\frac{28 \left(- \frac{\left(\cot^{2}{\left(2 x - 1 \right)} + 1\right)^{2}}{\cot^{2}{\left(2 x - 1 \right)}} + 2 \cot^{2}{\left(2 x - 1 \right)} + 2\right)}{\log{\left(3 \right)}}
Tercera derivada [src]
                          /                                      2                         \
                          |                  /       2          \      /       2          \|
     /       2          \ |                  \1 + cot (-1 + 2*x)/    2*\1 + cot (-1 + 2*x)/|
-112*\1 + cot (-1 + 2*x)/*|2*cot(-1 + 2*x) + --------------------- - ----------------------|
                          |                         3                    cot(-1 + 2*x)     |
                          \                      cot (-1 + 2*x)                            /
--------------------------------------------------------------------------------------------
                                           log(3)                                           
112(cot2(2x1)+1)((cot2(2x1)+1)2cot3(2x1)2(cot2(2x1)+1)cot(2x1)+2cot(2x1))log(3)- \frac{112 \left(\cot^{2}{\left(2 x - 1 \right)} + 1\right) \left(\frac{\left(\cot^{2}{\left(2 x - 1 \right)} + 1\right)^{2}}{\cot^{3}{\left(2 x - 1 \right)}} - \frac{2 \left(\cot^{2}{\left(2 x - 1 \right)} + 1\right)}{\cot{\left(2 x - 1 \right)}} + 2 \cot{\left(2 x - 1 \right)}\right)}{\log{\left(3 \right)}}
Gráfico
Derivada de y=log3(ctg^7*(2x-1))