Derivada de x*(e^(-x^2)+cos(2*x))

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x \left(e^{x^{2}} \cos{\left(2 x \right)} + 1\right)$ y $g{\left(x \right)} = e^{x^{2}}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = e^{x^{2}} \cos{\left(2 x \right)} + 1$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $e^{x^{2}} \cos{\left(2 x \right)} + 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

            $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

            $f{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Sustituimos $u = 2 x$.

            2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

               $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $2$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $- 2 \sin{\left(2 x \right)}$

            $g{\left(x \right)} = e^{x^{2}}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Sustituimos $u = x^{2}$.

            2. Derivado $e^{u}$ es.

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} x^{2}$:

               1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $2 x e^{x^{2}}$

            Como resultado de: $2 x e^{x^{2}} \cos{\left(2 x \right)} - 2 e^{x^{2}} \sin{\left(2 x \right)}$

         Como resultado de: $2 x e^{x^{2}} \cos{\left(2 x \right)} - 2 e^{x^{2}} \sin{\left(2 x \right)}$

      Como resultado de: $x \left(2 x e^{x^{2}} \cos{\left(2 x \right)} - 2 e^{x^{2}} \sin{\left(2 x \right)}\right) + e^{x^{2}} \cos{\left(2 x \right)} + 1$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x^{2}$.

   2. Derivado $e^{u}$ es.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} x^{2}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 x e^{x^{2}}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\left(- 2 x^{2} \left(e^{x^{2}} \cos{\left(2 x \right)} + 1\right) e^{x^{2}} + \left(x \left(2 x e^{x^{2}} \cos{\left(2 x \right)} - 2 e^{x^{2}} \sin{\left(2 x \right)}\right) + e^{x^{2}} \cos{\left(2 x \right)} + 1\right) e^{x^{2}}\right) e^{- 2 x^{2}}$

2. Simplificamos:

   $- 2 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 x \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} + e^{- x^{2}}$

Respuesta:

$- 2 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 x \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} + e^{- x^{2}}$