Sr Examen

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cos(√sin(tanπx))
Derivada de la función/ cos(√sin(tanπx))

Derivada de cos(√sin(tanπx))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   /  ________________\
cos\\/ sin(tan(pi*x)) /
cos⁡(sin⁡(tan⁡(πx)))\cos{\left(\sqrt{\sin{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}} \right)} 
cos(sqrt(sin(tan(pi*x))))
Solución detallada

  1. Sustituimos u=sin⁡(tan⁡(πx))u = \sqrt{\sin{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}}.

  2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

    dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxsin⁡(tan⁡(πx))\frac{d}{d x} \sqrt{\sin{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}}:

    1. Sustituimos u=sin⁡(tan⁡(πx))u = \sin{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}.

    2. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxsin⁡(tan⁡(πx))\frac{d}{d x} \sin{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}:

      1. Sustituimos u=tan⁡(πx)u = \tan{\left(\pi x \right)}.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

        ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(πx)\frac{d}{d x} \tan{\left(\pi x \right)}:

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          tan⁡(πx)=sin⁡(πx)cos⁡(πx)\tan{\left(\pi x \right)} = \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\cos{\left(\pi x \right)}}

        2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

          ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

          f(x)=sin⁡(πx)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)} y g(x)=cos⁡(πx)g{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}.

          Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. Sustituimos u=πxu = \pi x.

          2. La derivada del seno es igual al coseno:

            ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

          3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxπx\frac{d}{d x} \pi x:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

              Entonces, como resultado: π\pi

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            πcos⁡(πx)\pi \cos{\left(\pi x \right)}

          Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. Sustituimos u=πxu = \pi x.

          2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

          3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxπx\frac{d}{d x} \pi x:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

              Entonces, como resultado: π\pi

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            −πsin⁡(πx)- \pi \sin{\left(\pi x \right)}

          Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

          πsin⁡2(πx)+πcos⁡2(πx)cos⁡2(πx)\frac{\pi \sin^{2}{\left(\pi x \right)} + \pi \cos^{2}{\left(\pi x \right)}}{\cos^{2}{\left(\pi x \right)}}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        (πsin⁡2(πx)+πcos⁡2(πx))cos⁡(tan⁡(πx))cos⁡2(πx)\frac{\left(\pi \sin^{2}{\left(\pi x \right)} + \pi \cos^{2}{\left(\pi x \right)}\right) \cos{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(\pi x \right)}}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      (πsin⁡2(πx)+πcos⁡2(πx))cos⁡(tan⁡(πx))2sin⁡(tan⁡(πx))cos⁡2(πx)\frac{\left(\pi \sin^{2}{\left(\pi x \right)} + \pi \cos^{2}{\left(\pi x \right)}\right) \cos{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}}{2 \sqrt{\sin{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}} \cos^{2}{\left(\pi x \right)}}

    Como resultado de la secuencia de reglas:

    −(πsin⁡2(πx)+πcos⁡2(πx))sin⁡(sin⁡(tan⁡(πx)))cos⁡(tan⁡(πx))2sin⁡(tan⁡(πx))cos⁡2(πx)- \frac{\left(\pi \sin^{2}{\left(\pi x \right)} + \pi \cos^{2}{\left(\pi x \right)}\right) \sin{\left(\sqrt{\sin{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}} \right)} \cos{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}}{2 \sqrt{\sin{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}} \cos^{2}{\left(\pi x \right)}}

  4. Simplificamos:

    −πsin⁡(sin⁡(tan⁡(πx)))cos⁡(tan⁡(πx))2sin⁡(tan⁡(πx))cos⁡2(πx)- \frac{\pi \sin{\left(\sqrt{\sin{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}} \right)} \cos{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}}{2 \sqrt{\sin{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}} \cos^{2}{\left(\pi x \right)}}

Respuesta:

−πsin⁡(sin⁡(tan⁡(πx)))cos⁡(tan⁡(πx))2sin⁡(tan⁡(πx))cos⁡2(πx)- \frac{\pi \sin{\left(\sqrt{\sin{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}} \right)} \cos{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}}{2 \sqrt{\sin{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}} \cos^{2}{\left(\pi x \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-100005000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
    /       2      \                   /  ________________\ 
-pi*\1 + tan (pi*x)/*cos(tan(pi*x))*sin\\/ sin(tan(pi*x)) / 
------------------------------------------------------------
                        ________________                    
                    2*\/ sin(tan(pi*x))
−π(tan⁡2(πx)+1)sin⁡(sin⁡(tan⁡(πx)))cos⁡(tan⁡(πx))2sin⁡(tan⁡(πx))- \frac{\pi \left(\tan^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right) \sin{\left(\sqrt{\sin{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}} \right)} \cos{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}}{2 \sqrt{\sin{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                     /  ________________ /       2      \    /  ________________\                     /  ________________\                2            /       2      \    /  ________________\      2            /       2      \    /  ________________\\
  2 /       2      \ |\/ sin(tan(pi*x)) *\1 + tan (pi*x)/*sin\\/ sin(tan(pi*x)) /   cos(tan(pi*x))*sin\\/ sin(tan(pi*x)) /*tan(pi*x)   cos (tan(pi*x))*\1 + tan (pi*x)/*cos\\/ sin(tan(pi*x)) /   cos (tan(pi*x))*\1 + tan (pi*x)/*sin\\/ sin(tan(pi*x)) /|
pi *\1 + tan (pi*x)/*|----------------------------------------------------------- - ------------------------------------------------ - -------------------------------------------------------- + --------------------------------------------------------|
                     |                             2                                                 ________________                                      4*sin(tan(pi*x))                                              3/2                              |
                     \                                                                             \/ sin(tan(pi*x))                                                                                                4*sin   (tan(pi*x))                   /
π2(tan⁡2(πx)+1)((tan⁡2(πx)+1)sin⁡(sin⁡(tan⁡(πx)))sin⁡(tan⁡(πx))2+(tan⁡2(πx)+1)sin⁡(sin⁡(tan⁡(πx)))cos⁡2(tan⁡(πx))4sin⁡32(tan⁡(πx))−(tan⁡2(πx)+1)cos⁡(sin⁡(tan⁡(πx)))cos⁡2(tan⁡(πx))4sin⁡(tan⁡(πx))−sin⁡(sin⁡(tan⁡(πx)))cos⁡(tan⁡(πx))tan⁡(πx)sin⁡(tan⁡(πx)))\pi^{2} \left(\tan^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right) \left(\frac{\left(\tan^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right) \sin{\left(\sqrt{\sin{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}} \right)} \sqrt{\sin{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}}}{2} + \frac{\left(\tan^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right) \sin{\left(\sqrt{\sin{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}} \right)} \cos^{2}{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}}{4 \sin^{\frac{3}{2}}{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}} - \frac{\left(\tan^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right) \cos{\left(\sqrt{\sin{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}} \right)} \cos^{2}{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}}{4 \sin{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}} - \frac{\sin{\left(\sqrt{\sin{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}} \right)} \cos{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)} \tan{\left(\pi x \right)}}{\sqrt{\sin{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}}}\right)
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                     /                  2                                                                                                                                                                                                                                                      2                                                           2                                                          2                                                             2                                                                                                                                                                                      \
                     |  /       2      \     /  ________________\                  /       2      \                   /  ________________\        2                         /  ________________\                                                                               /       2      \     3               /  ________________\   /       2      \                    /  ________________\   /       2      \     3               /  ________________\     /       2      \     3               /  ________________\        2            /       2      \    /  ________________\                  2            /       2      \    /  ________________\          |
  3 /       2      \ |3*\1 + tan (pi*x)/ *cos\\/ sin(tan(pi*x)) /*cos(tan(pi*x))   \1 + tan (pi*x)/*cos(tan(pi*x))*sin\\/ sin(tan(pi*x)) /   2*tan (pi*x)*cos(tan(pi*x))*sin\\/ sin(tan(pi*x)) /       ________________ /       2      \    /  ________________\             3*\1 + tan (pi*x)/ *cos (tan(pi*x))*sin\\/ sin(tan(pi*x)) /   \1 + tan (pi*x)/ *cos(tan(pi*x))*sin\\/ sin(tan(pi*x)) /   \1 + tan (pi*x)/ *cos (tan(pi*x))*sin\\/ sin(tan(pi*x)) /   3*\1 + tan (pi*x)/ *cos (tan(pi*x))*cos\\/ sin(tan(pi*x)) /   3*cos (tan(pi*x))*\1 + tan (pi*x)/*cos\\/ sin(tan(pi*x)) /*tan(pi*x)   3*cos (tan(pi*x))*\1 + tan (pi*x)/*sin\\/ sin(tan(pi*x)) /*tan(pi*x)|
pi *\1 + tan (pi*x)/*|---------------------------------------------------------- - ------------------------------------------------------- - --------------------------------------------------- + 3*\/ sin(tan(pi*x)) *\1 + tan (pi*x)/*sin\\/ sin(tan(pi*x)) /*tan(pi*x) - ----------------------------------------------------------- - -------------------------------------------------------- + --------------------------------------------------------- + ----------------------------------------------------------- - -------------------------------------------------------------------- + --------------------------------------------------------------------|
                     |                            4                                                     ________________                                        ________________                                                                                                                      5/2                                                        ________________                                             3/2                                                           2                                                             2*sin(tan(pi*x))                                                          3/2                                    |
                     \                                                                                \/ sin(tan(pi*x))                                       \/ sin(tan(pi*x))                                                                                                                  8*sin   (tan(pi*x))                                         4*\/ sin(tan(pi*x))                                         8*sin   (tan(pi*x))                                           8*sin (tan(pi*x))                                                                                                                       2*sin   (tan(pi*x))                         /
π3(tan⁡2(πx)+1)(−(tan⁡2(πx)+1)2sin⁡(sin⁡(tan⁡(πx)))cos⁡(tan⁡(πx))4sin⁡(tan⁡(πx))+(tan⁡2(πx)+1)2sin⁡(sin⁡(tan⁡(πx)))cos⁡3(tan⁡(πx))8sin⁡32(tan⁡(πx))−3(tan⁡2(πx)+1)2sin⁡(sin⁡(tan⁡(πx)))cos⁡3(tan⁡(πx))8sin⁡52(tan⁡(πx))+3(tan⁡2(πx)+1)2cos⁡(sin⁡(tan⁡(πx)))cos⁡(tan⁡(πx))4+3(tan⁡2(πx)+1)2cos⁡(sin⁡(tan⁡(πx)))cos⁡3(tan⁡(πx))8sin⁡2(tan⁡(πx))+3(tan⁡2(πx)+1)sin⁡(sin⁡(tan⁡(πx)))sin⁡(tan⁡(πx))tan⁡(πx)−(tan⁡2(πx)+1)sin⁡(sin⁡(tan⁡(πx)))cos⁡(tan⁡(πx))sin⁡(tan⁡(πx))+3(tan⁡2(πx)+1)sin⁡(sin⁡(tan⁡(πx)))cos⁡2(tan⁡(πx))tan⁡(πx)2sin⁡32(tan⁡(πx))−3(tan⁡2(πx)+1)cos⁡(sin⁡(tan⁡(πx)))cos⁡2(tan⁡(πx))tan⁡(πx)2sin⁡(tan⁡(πx))−2sin⁡(sin⁡(tan⁡(πx)))cos⁡(tan⁡(πx))tan⁡2(πx)sin⁡(tan⁡(πx)))\pi^{3} \left(\tan^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right) \left(- \frac{\left(\tan^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right)^{2} \sin{\left(\sqrt{\sin{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}} \right)} \cos{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}}{4 \sqrt{\sin{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}}} + \frac{\left(\tan^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right)^{2} \sin{\left(\sqrt{\sin{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}} \right)} \cos^{3}{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}}{8 \sin^{\frac{3}{2}}{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}} - \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right)^{2} \sin{\left(\sqrt{\sin{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}} \right)} \cos^{3}{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}}{8 \sin^{\frac{5}{2}}{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}} + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right)^{2} \cos{\left(\sqrt{\sin{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}} \right)} \cos{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}}{4} + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right)^{2} \cos{\left(\sqrt{\sin{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}} \right)} \cos^{3}{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}}{8 \sin^{2}{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}} + 3 \left(\tan^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right) \sin{\left(\sqrt{\sin{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}} \right)} \sqrt{\sin{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}} \tan{\left(\pi x \right)} - \frac{\left(\tan^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right) \sin{\left(\sqrt{\sin{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}} \right)} \cos{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}}{\sqrt{\sin{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}}} + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right) \sin{\left(\sqrt{\sin{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}} \right)} \cos^{2}{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)} \tan{\left(\pi x \right)}}{2 \sin^{\frac{3}{2}}{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}} - \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right) \cos{\left(\sqrt{\sin{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}} \right)} \cos^{2}{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)} \tan{\left(\pi x \right)}}{2 \sin{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}} - \frac{2 \sin{\left(\sqrt{\sin{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}} \right)} \cos{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)} \tan^{2}{\left(\pi x \right)}}{\sqrt{\sin{\left(\tan{\left(\pi x \right)} \right)}}}\right)
Simplificar
Gráfico
Derivada de cos(√sin(tanπx))
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