Derivada de y(x)=(sin2x)(6x-x^3+10)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 2 x$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $2$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 \cos{\left(2 x \right)}$

   $g{\left(x \right)} = \left(- x^{3} + 6 x\right) + 10$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $\left(- x^{3} + 6 x\right) + 10$ miembro por miembro:

      1. diferenciamos $- x^{3} + 6 x$ miembro por miembro:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $6$

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

            Entonces, como resultado: $- 3 x^{2}$

         Como resultado de: $6 - 3 x^{2}$

      2. La derivada de una constante $10$ es igual a cero.

      Como resultado de: $6 - 3 x^{2}$

   Como resultado de: $\left(6 - 3 x^{2}\right) \sin{\left(2 x \right)} + 2 \left(\left(- x^{3} + 6 x\right) + 10\right) \cos{\left(2 x \right)}$

2. Simplificamos:

   $\left(6 - 3 x^{2}\right) \sin{\left(2 x \right)} + \left(- 2 x^{3} + 12 x + 20\right) \cos{\left(2 x \right)}$

Respuesta:

$\left(6 - 3 x^{2}\right) \sin{\left(2 x \right)} + \left(- 2 x^{3} + 12 x + 20\right) \cos{\left(2 x \right)}$