Derivada de ((аx^2+вx+с)*e^(-5x))

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = a x^{2} + b x + c$ y $g{\left(x \right)} = e^{5 x}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $a x^{2} + b x + c$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $c$ es igual a cero.

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

         Entonces, como resultado: $2 a x$

      3. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $b$

      Como resultado de: $2 a x + b$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 5 x$.

   2. Derivado $e^{u}$ es.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $5$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $5 e^{5 x}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\left(\left(2 a x + b\right) e^{5 x} - 5 \left(a x^{2} + b x + c\right) e^{5 x}\right) e^{- 10 x}$

2. Simplificamos:

   $\left(- 5 a x^{2} + 2 a x - 5 b x + b - 5 c\right) e^{- 5 x}$

Respuesta:

$\left(- 5 a x^{2} + 2 a x - 5 b x + b - 5 c\right) e^{- 5 x}$