Sr Examen

Derivada de y=4sec(2x)tan(2x)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
4*sec(2*x)*tan(2*x)
tan(2x)4sec(2x)\tan{\left(2 x \right)} 4 \sec{\left(2 x \right)}
(4*sec(2*x))*tan(2*x)
Solución detallada
  1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

    f(x)=4sec(2x)f{\left(x \right)} = 4 \sec{\left(2 x \right)}; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        sec(2x)=1cos(2x)\sec{\left(2 x \right)} = \frac{1}{\cos{\left(2 x \right)}}

      2. Sustituimos u=cos(2x)u = \cos{\left(2 x \right)}.

      3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos 1u2- \frac{1}{u^{2}}

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcos(2x)\frac{d}{d x} \cos{\left(2 x \right)}:

        1. Sustituimos u=2xu = 2 x.

        2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          dducos(u)=sin(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx2x\frac{d}{d x} 2 x:

          1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

            Entonces, como resultado: 22

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          2sin(2x)- 2 \sin{\left(2 x \right)}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        2sin(2x)cos2(2x)\frac{2 \sin{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}

      Entonces, como resultado: 8sin(2x)cos2(2x)\frac{8 \sin{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}

    g(x)=tan(2x)g{\left(x \right)} = \tan{\left(2 x \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      tan(2x)=sin(2x)cos(2x)\tan{\left(2 x \right)} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}

    2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=sin(2x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)} y g(x)=cos(2x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}.

      Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=2xu = 2 x.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

        ddusin(u)=cos(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx2x\frac{d}{d x} 2 x:

        1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Entonces, como resultado: 22

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        2cos(2x)2 \cos{\left(2 x \right)}

      Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=2xu = 2 x.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

        dducos(u)=sin(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx2x\frac{d}{d x} 2 x:

        1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Entonces, como resultado: 22

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        2sin(2x)- 2 \sin{\left(2 x \right)}

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      2sin2(2x)+2cos2(2x)cos2(2x)\frac{2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}

    Como resultado de: 4(2sin2(2x)+2cos2(2x))sec(2x)cos2(2x)+8sin(2x)tan(2x)cos2(2x)\frac{4 \left(2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right) \sec{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}} + \frac{8 \sin{\left(2 x \right)} \tan{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}

  2. Simplificamos:

    8(4sin4(x)4sin2(x)1)(2sin2(x)1)3\frac{8 \left(4 \sin^{4}{\left(x \right)} - 4 \sin^{2}{\left(x \right)} - 1\right)}{\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{3}}


Respuesta:

8(4sin4(x)4sin2(x)1)(2sin2(x)1)3\frac{8 \left(4 \sin^{4}{\left(x \right)} - 4 \sin^{2}{\left(x \right)} - 1\right)}{\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{3}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-20000001000000
Primera derivada [src]
  /         2     \                 2              
4*\2 + 2*tan (2*x)/*sec(2*x) + 8*tan (2*x)*sec(2*x)
4(2tan2(2x)+2)sec(2x)+8tan2(2x)sec(2x)4 \left(2 \tan^{2}{\left(2 x \right)} + 2\right) \sec{\left(2 x \right)} + 8 \tan^{2}{\left(2 x \right)} \sec{\left(2 x \right)}
Segunda derivada [src]
   /         2     \                  
16*\5 + 6*tan (2*x)/*sec(2*x)*tan(2*x)
16(6tan2(2x)+5)tan(2x)sec(2x)16 \left(6 \tan^{2}{\left(2 x \right)} + 5\right) \tan{\left(2 x \right)} \sec{\left(2 x \right)}
Tercera derivada [src]
   /   2      /         2     \     /       2     \ /         2     \     /       2     \ /         2     \        2      /       2     \\         
32*\tan (2*x)*\5 + 6*tan (2*x)/ + 2*\1 + tan (2*x)/*\1 + 3*tan (2*x)/ + 3*\1 + tan (2*x)/*\1 + 2*tan (2*x)/ + 6*tan (2*x)*\1 + tan (2*x)//*sec(2*x)
32(3(tan2(2x)+1)(2tan2(2x)+1)+2(tan2(2x)+1)(3tan2(2x)+1)+6(tan2(2x)+1)tan2(2x)+(6tan2(2x)+5)tan2(2x))sec(2x)32 \left(3 \left(\tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) \left(2 \tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) + 2 \left(\tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) + 6 \left(\tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(2 x \right)} + \left(6 \tan^{2}{\left(2 x \right)} + 5\right) \tan^{2}{\left(2 x \right)}\right) \sec{\left(2 x \right)}
Gráfico
Derivada de y=4sec(2x)tan(2x)