Derivada de y=((3x+1)^2)/√x+2

1. diferenciamos $2 + \frac{\left(3 x + 1\right)^{2}}{\sqrt{x}}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \left(3 x + 1\right)^{2}$ y $g{\left(x \right)} = \sqrt{x}$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 3 x + 1$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(3 x + 1\right)$:

         1. diferenciamos $3 x + 1$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $3$

            Como resultado de: $3$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $18 x + 6$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{\sqrt{x} \left(18 x + 6\right) - \frac{\left(3 x + 1\right)^{2}}{2 \sqrt{x}}}{x}$

   2. La derivada de una constante $2$ es igual a cero.

   Como resultado de: $\frac{\sqrt{x} \left(18 x + 6\right) - \frac{\left(3 x + 1\right)^{2}}{2 \sqrt{x}}}{x}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(3 x + 1\right) \left(9 x - 1\right)}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Respuesta:

$\frac{\left(3 x + 1\right) \left(9 x - 1\right)}{2 x^{\frac{3}{2}}}$