Derivada de (z*z+pi*pi)*(1+e^(-z))

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d z} \frac{f{\left(z \right)}}{g{\left(z \right)}} = \frac{- f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}}{g^{2}{\left(z \right)}}$

   $f{\left(z \right)} = \left(z^{2} + \pi^{2}\right) \left(e^{z} + 1\right)$ y $g{\left(z \right)} = e^{z}$.

   Para calcular $\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} g{\left(z \right)} = f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}$

      $f{\left(z \right)} = e^{z} + 1$; calculamos $\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}$:

      1. diferenciamos $e^{z} + 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. Derivado $e^{z}$ es.

         Como resultado de: $e^{z}$

      $g{\left(z \right)} = z^{2} + \pi^{2}$; calculamos $\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}$:

      1. diferenciamos $z^{2} + \pi^{2}$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $\pi^{2}$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $z^{2}$ tenemos $2 z$

         Como resultado de: $2 z$

      Como resultado de: $2 z \left(e^{z} + 1\right) + \left(z^{2} + \pi^{2}\right) e^{z}$

   Para calcular $\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}$:

   1. Derivado $e^{z}$ es.

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\left(- \left(z^{2} + \pi^{2}\right) \left(e^{z} + 1\right) e^{z} + \left(2 z \left(e^{z} + 1\right) + \left(z^{2} + \pi^{2}\right) e^{z}\right) e^{z}\right) e^{- 2 z}$

2. Simplificamos:

   $\left(- z^{2} + 2 z e^{z} + 2 z - \pi^{2}\right) e^{- z}$

Respuesta:

$\left(- z^{2} + 2 z e^{z} + 2 z - \pi^{2}\right) e^{- z}$